初级微积分示例

$x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 64 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 20 u + 64$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $64$ ，和为 $- 20$ 。

$- 16, - 4$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 16) (u - 4) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} - 16) (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 1.5

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 1.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 1.8

因数。

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解题步骤 1.8.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x + 4) (x - 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 1.8.2

去掉多余的括号。

$(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 3

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 4

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 6

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 7

最终解为使 $(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 4, 4, - 2, 2$

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