初级微积分示例

$y = {(x - 14)}^{2} - 9$

解题步骤 1

父函数是给定函数类型的最简形式。

$y = x^{2}$

解题步骤 2

化简 ${(x - 14)}^{2} - 9$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(x - 14)}^{2}$ 重写为 $(x - 14) (x - 14)$ 。

$y = (x - 14) (x - 14) - 9$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 14) (x - 14)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$y = x (x - 14) - 14 (x - 14) - 9$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$y = x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 (x - 14) - 9$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

$y = x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14 - 9$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = x^{2} + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14 - 9$

解题步骤 2.1.3.1.2

将 $- 14$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = x^{2} - 14 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 14 - 9$

解题步骤 2.1.3.1.3

将 $- 14$ 乘以 $- 14$ 。

$y = x^{2} - 14 x - 14 x + 196 - 9$

解题步骤 2.1.3.2

从 $- 14 x$ 中减去 $14 x$ 。

$y = x^{2} - 28 x + 196 - 9$

解题步骤 2.2

从 $196$ 中减去 $9$ 。

$y = x^{2} - 28 x + 187$

解题步骤 3

假设 $y = x^{2}$ 为 $f (x) = x^{2}$ ， $y = {(x - 14)}^{2} - 9$ 为 $g (x) = x^{2} - 28 x + 187$ 。

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} - 28 x + 187$

解题步骤 4

所描述的转换是从 $f (x) = x^{2}$ 到 $g (x) = x^{2} - 28 x + 187$ 的变化。

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} - 28 x + 187$

解题步骤 5

求 $g (x) = x^{2} - 28 x + 187$ 的顶点式。

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解题步骤 5.1

对 $x^{2} - 28 x + 187$ 进行配方。

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解题步骤 5.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 28$

$c = 187$

解题步骤 5.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 28}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.2

约去 $- 28$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.2.1

从 $- 28$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 (1)}$

解题步骤 5.1.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 14}{1}$

解题步骤 5.1.3.2.2.4

用 $- 14$ 除以 $1$ 。

$d = - 14$

解题步骤 5.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 187 - \frac{{(- 28)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.4.2.1.1

对 $- 28$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 187 - \frac{784}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 187 - \frac{784}{4}$

解题步骤 5.1.4.2.1.3

用 $784$ 除以 $4$ 。

$e = 187 - 1 \cdot 196$

解题步骤 5.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $196$ 。

$e = 187 - 196$

解题步骤 5.1.4.2.2

从 $187$ 中减去 $196$ 。

$e = - 9$

解题步骤 5.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - 14)}^{2} - 9$ 。

${(x - 14)}^{2} - 9$

解题步骤 5.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = {(x - 14)}^{2} - 9$

解题步骤 6

水平位移取决于 $h$ 的值。水平位移被描述为：

$g (x) = f (x + h)$ - 图像向左平移了 $h$ 个单位。

$g (x) = f (x - h)$ - 图像向右平移了 $h$ 个单位。

水平位移：向右 $14$ 个单位

解题步骤 7

垂直位移取决于 $k$ 的值。垂直位移可描述为：

$g (x) = f (x) + k$ - 图像向上平移了 $k$ 个单位。

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

垂直位移：向下移动 $9$ 个单位

解题步骤 8

当 $g (x) = - f (x)$ 时，图像关于 X 轴反射。

关于 x 轴反射：无

解题步骤 9

当 $g (x) = f (- x)$ 时，图像关于Y轴反射。

关于 y 轴反射：无

解题步骤 10

根据 $a$ 的取值压缩或伸展。

当 $a$ 大于 $1$ 时：垂直拉伸

当 $a$ 介于 $0$ 和 $1$ 之间时：垂直压缩

垂直压缩或垂直拉伸：无

解题步骤 11

比较并列出函数的变换。

父函数： $y = x^{2}$

水平位移：向右 $14$ 个单位

垂直位移：向下移动 $9$ 个单位

关于 x 轴反射：无

关于 y 轴反射：无

垂直压缩或垂直拉伸：无

解题步骤 12

初级微积分 示例

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