初级微积分示例

$\sqrt{2 n - 7} = - 2 - \sqrt{9 - n}$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 n - 7}}^{2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 n - 7}$ 重写成 ${(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 n - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 n - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 n - 7)}^{1} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$2 n - 7 = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$ 重写为 $(- 2 - \sqrt{9 - n}) (- 2 - \sqrt{9 - n})$ 。

$2 n - 7 = (- 2 - \sqrt{9 - n}) (- 2 - \sqrt{9 - n})$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 - \sqrt{9 - n}) (- 2 - \sqrt{9 - n})$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$2 n - 7 = - 2 (- 2 - \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} (- 2 - \sqrt{9 - n})$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$2 n - 7 = - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} (- 2 - \sqrt{9 - n})$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$2 n - 7 = - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} \cdot - 2 - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 n - 7 = 4 - 2 (- \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} \cdot - 2 - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} - \sqrt{9 - n} \cdot - 2 - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

乘以 $- \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + 1 \sqrt{9 - n} \sqrt{9 - n}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.2

将 $\sqrt{9 - n}$ 乘以 $1$ 。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + \sqrt{9 - n} \sqrt{9 - n}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.3

对 $\sqrt{9 - n}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{1} \sqrt{9 - n}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.4

对 $\sqrt{9 - n}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{1} {\sqrt{9 - n}}^{1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{1 + 1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5

将 ${\sqrt{9 - n}}^{2}$ 重写为 $9 - n$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 - n}$ 重写成 ${(9 - n)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.1.5.4.1

约去公因数。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.4.2

重写表达式。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.5

化简。

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + 9 - n$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $4$ 和 $9$ 相加。

$2 n - 7 = 13 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} - n$

解题步骤 2.3.1.3.3

将 $2 \sqrt{9 - n}$ 和 $2 \sqrt{9 - n}$ 相加。

$2 n - 7 = 13 + 4 \sqrt{9 - n} - n$

解题步骤 3

求解 $4 \sqrt{9 - n}$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $13 + 4 \sqrt{9 - n} - n = 2 n - 7$ 。

$13 + 4 \sqrt{9 - n} - n = 2 n - 7$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $4 \sqrt{9 - n}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $13$ 。

$4 \sqrt{9 - n} - n = 2 n - 7 - 13$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $n$ 。

$4 \sqrt{9 - n} = 2 n - 7 - 13 + n$

解题步骤 3.2.3

将 $2 n$ 和 $n$ 相加。

$4 \sqrt{9 - n} = 3 n - 7 - 13$

解题步骤 3.2.4

从 $- 7$ 中减去 $13$ 。

$4 \sqrt{9 - n} = 3 n - 20$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(4 \sqrt{9 - n})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 - n}$ 重写成 ${(9 - n)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(4 {(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${(4 {(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $4 {(9 - n)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$4^{2} {({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 {({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

将 ${({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 {(9 - n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 n - 20)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.2.1

约去公因数。

$16 {(9 - n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 n - 20)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2.2

重写表达式。

$16 {(9 - n)}^{1} = {(3 n - 20)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

化简。

$16 (9 - n) = {(3 n - 20)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.5

运用分配律。

$16 \cdot 9 + 16 (- n) = {(3 n - 20)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6

乘。

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解题步骤 5.2.1.6.1

将 $16$ 乘以 $9$ 。

$144 + 16 (- n) = {(3 n - 20)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$144 - 16 n = {(3 n - 20)}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简 ${(3 n - 20)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

将 ${(3 n - 20)}^{2}$ 重写为 $(3 n - 20) (3 n - 20)$ 。

$144 - 16 n = (3 n - 20) (3 n - 20)$

解题步骤 5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 n - 20) (3 n - 20)$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

运用分配律。

$144 - 16 n = 3 n (3 n - 20) - 20 (3 n - 20)$

解题步骤 5.3.1.2.2

运用分配律。

$144 - 16 n = 3 n (3 n) + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n - 20)$

解题步骤 5.3.1.2.3

运用分配律。

$144 - 16 n = 3 n (3 n) + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

解题步骤 5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$144 - 16 n = 3 \cdot 3 n \cdot n + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

解题步骤 5.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.2.1

移动 $n$ 。

$144 - 16 n = 3 \cdot 3 (n \cdot n) + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

解题步骤 5.3.1.3.1.2.2

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$144 - 16 n = 3 \cdot 3 n^{2} + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

解题步骤 5.3.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$144 - 16 n = 9 n^{2} + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

解题步骤 5.3.1.3.1.4

将 $- 20$ 乘以 $3$ 。

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 60 n - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

解题步骤 5.3.1.3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 20$ 。

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 60 n - 60 n - 20 \cdot - 20$

解题步骤 5.3.1.3.1.6

将 $- 20$ 乘以 $- 20$ 。

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 60 n - 60 n + 400$

解题步骤 5.3.1.3.2

从 $- 60 n$ 中减去 $60 n$ 。

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 120 n + 400$

解题步骤 6

求解 $n$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $n$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$9 n^{2} - 120 n + 400 = 144 - 16 n$

解题步骤 6.2

将所有包含 $n$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $16 n$ 。

$9 n^{2} - 120 n + 400 + 16 n = 144$

解题步骤 6.2.2

将 $- 120 n$ 和 $16 n$ 相加。

$9 n^{2} - 104 n + 400 = 144$

解题步骤 6.3

从等式两边同时减去 $144$ 。

$9 n^{2} - 104 n + 400 - 144 = 0$

解题步骤 6.4

从 $400$ 中减去 $144$ 。

$9 n^{2} - 104 n + 256 = 0$

解题步骤 6.5

分组因式分解。

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解题步骤 6.5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 9 \cdot 256 = 2304$ 并且它们的和为 $b = - 104$ 。

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解题步骤 6.5.1.1

从 $- 104 n$ 中分解出因数 $- 104$ 。

$9 n^{2} - 104 n + 256 = 0$

解题步骤 6.5.1.2

把 $- 104$ 重写为 $- 32$ 加 $- 72$

$9 n^{2} + (- 32 - 72) n + 256 = 0$

解题步骤 6.5.1.3

运用分配律。

$9 n^{2} - 32 n - 72 n + 256 = 0$

解题步骤 6.5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(9 n^{2} - 32 n) - 72 n + 256 = 0$

解题步骤 6.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$n (9 n - 32) - 8 (9 n - 32) = 0$

解题步骤 6.5.3

通过因式分解出最大公因数 $9 n - 32$ 来因式分解多项式。

$(9 n - 32) (n - 8) = 0$

解题步骤 6.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$9 n - 32 = 0$

$n - 8 = 0$

解题步骤 6.7

将 $9 n - 32$ 设为等于 $0$ 并求解 $n$ 。

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解题步骤 6.7.1

将 $9 n - 32$ 设为等于 $0$ 。

$9 n - 32 = 0$

解题步骤 6.7.2

求解 $n$ 的 $9 n - 32 = 0$ 。

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解题步骤 6.7.2.1

在等式两边都加上 $32$ 。

$9 n = 32$

解题步骤 6.7.2.2

将 $9 n = 32$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 6.7.2.2.1

将 $9 n = 32$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 n}{9} = \frac{32}{9}$

解题步骤 6.7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.7.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 n}{9} = \frac{32}{9}$

解题步骤 6.7.2.2.2.1.2

用 $n$ 除以 $1$ 。

$n = \frac{32}{9}$

解题步骤 6.8

将 $n - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $n$ 。

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解题步骤 6.8.1

将 $n - 8$ 设为等于 $0$ 。

$n - 8 = 0$

解题步骤 6.8.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$n = 8$

解题步骤 6.9

最终解为使 $(9 n - 32) (n - 8) = 0$ 成立的所有值。

$n = \frac{32}{9}, 8$

解题步骤 7

排除不能使 $\sqrt{2 n - 7} = - 2 - \sqrt{9 - n}$ 成立的解。

$无解$

初级微积分 示例

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