初级微积分示例

$0.25 (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$

解题步骤 1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, 3 t^{2} + 1$

解题步骤 1.2

去掉圆括号。

$1, 3 t^{2} + 1$

解题步骤 1.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$3 t^{2} + 1$

解题步骤 2

将 $0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ 中的每一项乘以 $3 t^{2} + 1$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ 中的每一项乘以 $3 t^{2} + 1$ 。

$0.25 t (3 t^{2} + 1) = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

$0.25 t (3 t^{2}) + 0.25 t \cdot 1 = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

解题步骤 2.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$0.25 \cdot 3 t \cdot t^{2} + 0.25 t \cdot 1 = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $0.25$ 乘以 $1$ 。

$0.25 \cdot 3 t \cdot t^{2} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

解题步骤 2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

移动 $t^{2}$ 。

$0.25 \cdot 3 (t^{2} t) + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$0.25 \cdot 3 (t^{2} t^{1}) + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0.25 \cdot 3 t^{2 + 1} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

解题步骤 2.2.2.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$0.25 \cdot 3 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

解题步骤 2.2.2.2

将 $0.25$ 乘以 $3$ 。

$0.75 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

约去 $3 t^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

约去公因数。

$0.75 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

解题步骤 2.3.1.2

重写表达式。

$0.75 t^{3} + 0.25 t = t$

解题步骤 3

求解方程。

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解题步骤 3.1

将所有包含 $t$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $t$ 。

$0.75 t^{3} + 0.25 t - t = 0$

解题步骤 3.1.2

从 $0.25 t$ 中减去 $t$ 。

$0.75 t^{3} - 0.75 t = 0$

解题步骤 3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

从 $0.75 t^{3} - 0.75 t$ 中分解出因数 $0.75 t$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $0.75 t^{3}$ 中分解出因数 $0.75 t$ 。

$0.75 t (t^{2}) - 0.75 t = 0$

解题步骤 3.2.1.2

从 $- 0.75 t$ 中分解出因数 $0.75 t$ 。

$0.75 t (t^{2}) + 0.75 t (- 1) = 0$

解题步骤 3.2.1.3

从 $0.75 t (t^{2}) + 0.75 t (- 1)$ 中分解出因数 $0.75 t$ 。

$0.75 t (t^{2} - 1) = 0$

解题步骤 3.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$0.75 t (t^{2} - 1^{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3

因数。

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解题步骤 3.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = t$ 和 $b = 1$ 。

$0.75 t ((t + 1) (t - 1)) = 0$

解题步骤 3.2.3.2

去掉多余的括号。

$0.75 t (t + 1) (t - 1) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$t = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

解题步骤 3.4

将 $t$ 设为等于 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 3.5

将 $t + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $t + 1$ 设为等于 $0$ 。

$t + 1 = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$t = - 1$

解题步骤 3.6

将 $t - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $t - 1$ 设为等于 $0$ 。

$t - 1 = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$t = 1$

解题步骤 3.7

最终解为使 $0.75 t (t + 1) (t - 1) = 0$ 成立的所有值。

$t = 0, - 1, 1$

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