初级微积分示例

$3 y^{2} - 2 y + x + 1 = 0$

解题步骤 1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $3 y^{2}$ 。

$- 2 y + x + 1 = - 3 y^{2}$

解题步骤 1.1.2

在等式两边都加上 $2 y$ 。

$x + 1 = - 3 y^{2} + 2 y$

解题步骤 1.1.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 3 y^{2} + 2 y - 1$

解题步骤 1.2

对 $- 3 y^{2} + 2 y - 1$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 3$

$b = 2$

$c = - 1$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

重写表达式。

$d = \frac{1}{- 3}$

解题步骤 1.2.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{1}{3}$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 3}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot - 3}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$e = - 1 - \frac{4}{- 12}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

约去 $4$ 和 $- 12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = - 1 - \frac{4 (1)}{- 12}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.3.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2.2

约去公因数。

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2.3

重写表达式。

$e = - 1 - \frac{1}{- 3}$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$e = - 1 - - \frac{1}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.1.5

乘以 $- - \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = - 1 + 1 (\frac{1}{3})$

解题步骤 1.2.4.2.1.5.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$e = - 1 + \frac{1}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$e = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$e = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.4

在公分母上合并分子。

$e = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$e = \frac{- 3 + 1}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.5.2

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$e = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.6

将负号移到分数的前面。

$e = - \frac{2}{3}$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$ 。

$- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

解题步骤 1.3

将 $x$ 设为等于右边新的值。

$x = - 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

解题步骤 2

使用顶点式 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 3$

$h = - \frac{2}{3}$

$k = \frac{1}{3}$

解题步骤 3

因为 $a$ 的值是负数，所以抛物线开口向左。

开口向左

解题步骤 4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{- 12}$

解题步骤 5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{12}$

解题步骤 6

求焦点。

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解题步骤 6.1

如果抛物线开口向左或向右，则可通过让 $p$ 加上 X 轴坐标 $h$ 求得抛物线的焦点。

$(h + p, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

解题步骤 7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$y = \frac{1}{3}$

解题步骤 8

求准线。

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解题步骤 8.1

如果抛物线开口向左或向右，那么抛物线的准线为通过从顶点的 x 坐标 $h$ 减去 $p$ 求得的正垂线。

$x = h - p$

解题步骤 8.2

将 $p$ 和 $h$ 的已知值代入公式并化简。

$x = - \frac{7}{12}$

解题步骤 9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向左

顶点： $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

焦点： $(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

对称轴： $y = \frac{1}{3}$

准线： $x = - \frac{7}{12}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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