初级微积分示例

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

解题步骤 1

求 $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ 的逆。

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解题步骤 1.1

$2 \times 2$ 矩阵的逆矩阵可以通过使用公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ 求得，其中 $a d - b c$ 是行列式。

解题步骤 1.2

求行列式。

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解题步骤 1.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$5 \cdot 2 - (- 3 \cdot 4)$

解题步骤 1.2.2

化简行列式。

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解题步骤 1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.1.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$10 - (- 3 \cdot 4)$

解题步骤 1.2.2.1.2

乘以 $- (- 3 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$10 - - 12$

解题步骤 1.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$10 + 12$

解题步骤 1.2.2.2

将 $10$ 和 $12$ 相加。

$22$

解题步骤 1.3

由于行列式非零，所以逆存在。

解题步骤 1.4

将已知值代入逆的公式中。

$\frac{1}{22} [\begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & 5 \end{array}]$

解题步骤 1.5

将 $\frac{1}{22}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{22} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 1.6

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.6.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

从 $22$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (11)} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 1.6.1.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 1.6.1.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 1.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1

从 $22$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 (11)} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 1.6.2.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 1.6.2.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 1.6.2.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{11} \cdot - 2 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 1.6.3

组合 $\frac{1}{11}$ 和 $- 2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{- 2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 1.6.4

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 1.6.5

组合 $\frac{1}{22}$ 和 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 1.6.6

组合 $\frac{1}{22}$ 和 $5$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

解题步骤 2

两边同时乘以 $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ 的逆。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

解题步骤 3

化简方程。

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解题步骤 3.1

乘以 $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ 。

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解题步骤 3.1.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是 $2 \times 2$ ，第二个矩阵是 $2 \times 2$ 。

解题步骤 3.1.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 5 - \frac{2}{11} \cdot - 3 & \frac{1}{11} \cdot 4 - \frac{2}{11} \cdot 2 \\ \frac{3}{22} \cdot 5 + \frac{5}{22} \cdot - 3 & \frac{3}{22} \cdot 4 + \frac{5}{22} \cdot 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

解题步骤 3.1.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

解题步骤 3.2

将任何矩阵乘以矩阵 $A$ 均为 $A$ 矩阵本身。

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

解题步骤 3.3

乘以 $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是 $2 \times 2$ ，第二个矩阵是 $2 \times 1$ 。

解题步骤 3.3.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 10 - \frac{2}{11} \cdot - 16 \\ \frac{3}{22} \cdot 10 + \frac{5}{22} \cdot - 16 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$x = [\begin{array}{c} \frac{42}{11} \\ - \frac{25}{11} \end{array}]$

初级微积分 示例

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