初级微积分示例

${(x + 2 y)}^{6}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(x + 2 y)}^{6}$ , $n = 6$ ，所以展开系数将对应直线 $7$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ 。

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

解题步骤 3

将 $a$ $x$ 和 $b$ $2 y$ 的实际值代入表达式。

$1 {(x)}^{6} {(2 y)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(x)}^{6}$ 乘以 $1$ 。

${(x)}^{6} {(2 y)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.2

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$x^{6} (2^{0} y^{0}) + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.3

使用乘法的交换性质重写。

$2^{0} x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.5

将 $x^{6}$ 乘以 $1$ 。

$x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{6} \cdot 1 + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.7

将 $x^{6}$ 乘以 $1$ 。

$x^{6} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.8

化简。

$x^{6} + 6 x^{5} (2 y) + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.9

使用乘法的交换性质重写。

$x^{6} + 6 \cdot 2 x^{5} y + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.10

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.11

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 x^{4} (2^{2} y^{2}) + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.12

使用乘法的交换性质重写。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 \cdot 2^{2} x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 \cdot 4 x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.14

将 $15$ 乘以 $4$ 。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.15

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} (2^{3} y^{3}) + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.16

使用乘法的交换性质重写。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 \cdot 2^{3} x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.17

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 \cdot 8 x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.18

将 $20$ 乘以 $8$ 。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.19

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} (2^{4} y^{4}) + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.20

使用乘法的交换性质重写。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 \cdot 2^{4} x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.21

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 \cdot 16 x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.22

将 $15$ 乘以 $16$ 。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.23

化简。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 x {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.24

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 x (2^{5} y^{5}) + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.25

使用乘法的交换性质重写。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 \cdot 2^{5} x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.26

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 \cdot 32 x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.27

将 $6$ 乘以 $32$ 。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.28

将 ${(x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.29

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 1 {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.30

将 ${(2 y)}^{6}$ 乘以 $1$ 。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + {(2 y)}^{6}$

解题步骤 4.31

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 2^{6} y^{6}$

解题步骤 4.32

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 64 y^{6}$

初级微积分 示例

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