初级微积分示例

$\log_{5} (2 x - 1)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \log_{5} (2 y - 1)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\log_{5} (2 y - 1) = x$ 。

$\log_{5} (2 y - 1) = x$

解题步骤 2.2

使用对数的定义将 $\log_{5} (2 y - 1) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$5^{x} = 2 y - 1$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将方程重写为 $2 y - 1 = 5^{x}$ 。

$2 y - 1 = 5^{x}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 y = 5^{x} + 1$

解题步骤 2.3.3

将 $2 y = 5^{x} + 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $2 y = 5^{x} + 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ 是否为 $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1))$ 。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)} + 1}{2}$

解题步骤 4.2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

解题步骤 4.2.5

合并 $2 x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.6.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2})$ 。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

解题步骤 4.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

约去公因数。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

解题步骤 4.3.3.2.2

重写表达式。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

解题步骤 4.3.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

解题步骤 4.3.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 1 - 1)$

解题步骤 4.3.4

合并 $5^{x} + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

解题步骤 4.3.4.2

将 $5^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

解题步骤 4.3.5

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \log_{5} (5)$

解题步骤 4.3.6

$5$ 的对数底 $5$ 的值为 $1$ 。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \cdot 1$

解题步骤 4.3.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ 为 $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

初级微积分 示例

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