初级微积分示例

$x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$ , $x - 2 y = 5$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $2 y$ 。

$x = 5 + 2 y$

$x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$

解题步骤 2

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $5 + 2 y$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $5 + 2 y$ 替换 $x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$ 中所有出现的 $x$ .

${(5 + 2 y)}^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${(5 + 2 y)}^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.1

将 ${(5 + 2 y)}^{2}$ 重写为 $(5 + 2 y) (5 + 2 y)$ 。

$(5 + 2 y) (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(5 + 2 y) (5 + 2 y)$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

运用分配律。

$5 (5 + 2 y) + 2 y (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

运用分配律。

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.2.3

运用分配律。

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$25 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$25 + 10 y + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.3

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$25 + 10 y + 10 y + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1.5.1

移动 $y$ 。

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$25 + 10 y + 10 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 10 y + 10 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

将 $10 y$ 和 $10 y$ 相加。

$25 + 20 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.4

运用分配律。

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.5.1

移动 $y$ 。

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 (y \cdot y) + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 $20 y$ 和 $5 y$ 相加。

$25 + 4 y^{2} + 25 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $4 y^{2}$ 和 $2 y^{2}$ 相加。

$25 + 6 y^{2} + 25 y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 2.2.1.2.3

将 $6 y^{2}$ 和 $2 y^{2}$ 相加。

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3

在 $25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$25 + 8 y^{2} + 25 y - 7 = 0$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.2

从 $25$ 中减去 $7$ 。

$8 y^{2} + 25 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.3

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 8 \cdot 18 = 144$ 并且它们的和为 $b = 25$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $25 y$ 中分解出因数 $25$ 。

$8 y^{2} + 25 (y) + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.3.1.2

把 $25$ 重写为 $9$ 加 $16$

$8 y^{2} + (9 + 16) y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$8 y^{2} + 9 y + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

$8 y^{2} + 9 y + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(8 y^{2} + 9 y) + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$y (8 y + 9) + 2 (8 y + 9) = 0$

$x = 5 + 2 y$

$y (8 y + 9) + 2 (8 y + 9) = 0$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.3.3

通过因式分解出最大公因数 $8 y + 9$ 来因式分解多项式。

$(8 y + 9) (y + 2) = 0$

$x = 5 + 2 y$

$(8 y + 9) (y + 2) = 0$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$8 y + 9 = 0$

$y + 2 = 0$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.5

将 $8 y + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $8 y + 9$ 设为等于 $0$ 。

$8 y + 9 = 0$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.5.2

求解 $y$ 的 $8 y + 9 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$8 y = - 9$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.5.2.2

将 $8 y = - 9$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $8 y = - 9$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.6

将 $y + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $y + 2$ 设为等于 $0$ 。

$y + 2 = 0$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.6.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = - 2$

$x = 5 + 2 y$

$y = - 2$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 3.7

最终解为使 $(8 y + 9) (y + 2) = 0$ 成立的所有值。

$y = - \frac{9}{8}, - 2$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}, - 2$

$x = 5 + 2 y$

解题步骤 4

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $- \frac{9}{8}$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $- \frac{9}{8}$ 替换 $x = 5 + 2 y$ 中所有出现的 $y$ .

$x = 5 + 2 (- \frac{9}{8})$

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $5 + 2 (- \frac{9}{8})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.1.1

将 $- \frac{9}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{8})$

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.2.1.1.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{2 (4)})$

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.2.1.1.1.3

约去公因数。

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{2 \cdot 4})$

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.2.1.1.1.4

重写表达式。

$x = 5 + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.2.1.1.2

将负号移到分数的前面。

$x = 5 - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.2.1.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.2.1.3

组合 $5$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.2.1.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{5 \cdot 4 - 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.2.1.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.5.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{20 - 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.2.1.5.2

从 $20$ 中减去 $9$ 。

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 5

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $- 2$ 。

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解题步骤 5.1

使用 $- 2$ 替换 $x = 5 + 2 y$ 中所有出现的 $y$ .

$x = 5 + 2 (- 2)$

$y = - 2$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $5 + 2 (- 2)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x = 5 - 4$

$y = - 2$

解题步骤 5.2.1.2

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

解题步骤 6

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(\frac{11}{4}, - \frac{9}{8})$

$(1, - 2)$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(\frac{11}{4}, - \frac{9}{8}), (1, - 2)$

方程形式：

$x = \frac{11}{4}, y = - \frac{9}{8}$

$x = 1, y = - 2$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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