初级微积分示例

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 1 \\ 9 & 1 & - 2 \\ - 3 & 5 & 4 \end{array}]$

解题步骤 1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 1.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 5 & 4 \end{array} |$

解题步骤 1.4

将元素 $a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 5 & 4 \end{array} |$

解题步骤 1.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 9 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

解题步骤 1.6

将元素 $a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$- 2 | \begin{array}{c} 9 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

解题步骤 1.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 1.8

将元素 $a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 1.9

最后把这些项加起来。

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 5 & 4 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 9 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 5 & 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 2 (1 \cdot 4 - 5 \cdot - 2) - 2 | \begin{array}{c} 9 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (4 - 5 \cdot - 2) - 2 | \begin{array}{c} 9 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 (4 + 10) - 2 | \begin{array}{c} 9 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

将 $4$ 和 $10$ 相加。

$- 2 \cdot 14 - 2 | \begin{array}{c} 9 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} 9 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 2 \cdot 14 - 2 (9 \cdot 4 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$- 2 \cdot 14 - 2 (36 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 3.2.1.2

乘以 $- (- 3 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 \cdot 14 - 2 (36 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 2 \cdot 14 - 2 (36 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

从 $36$ 中减去 $6$ 。

$- 2 \cdot 14 - 2 \cdot 30 + 1 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 3 & 5 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 2 \cdot 14 - 2 \cdot 30 + 1 (9 \cdot 5 - (- 3 \cdot 1))$

解题步骤 4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $9$ 乘以 $5$ 。

$- 2 \cdot 14 - 2 \cdot 30 + 1 (45 - (- 3 \cdot 1))$

解题步骤 4.2.1.2

乘以 $- (- 3 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \cdot 14 - 2 \cdot 30 + 1 (45 - - 3)$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- 2 \cdot 14 - 2 \cdot 30 + 1 (45 + 3)$

解题步骤 4.2.2

将 $45$ 和 $3$ 相加。

$- 2 \cdot 14 - 2 \cdot 30 + 1 \cdot 48$

解题步骤 5

化简行列式。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

将 $- 2$ 乘以 $14$ 。

$- 28 - 2 \cdot 30 + 1 \cdot 48$

解题步骤 5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $30$ 。

$- 28 - 60 + 1 \cdot 48$

解题步骤 5.1.3

将 $48$ 乘以 $1$ 。

$- 28 - 60 + 48$

解题步骤 5.2

从 $- 28$ 中减去 $60$ 。

$- 88 + 48$

解题步骤 5.3

将 $- 88$ 和 $48$ 相加。

$- 40$

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