初级微积分示例

$| 2 x + 1 | + 1 \leq 8$

解题步骤 1

将 $| 2 x + 1 | + 1 \leq 8$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$2 x + 1 \geq 0$

解题步骤 1.2

求解不等式。

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解题步骤 1.2.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x \geq - 1$

解题步骤 1.2.2

将 $2 x \geq - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $2 x \geq - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x \geq - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3

在 $2 x + 1$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$2 x + 1 + 1 \leq 8$

解题步骤 1.4

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$2 x + 1 < 0$

解题步骤 1.5

求解不等式。

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解题步骤 1.5.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x < - 1$

解题步骤 1.5.2

将 $2 x < - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $2 x < - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x < - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.6

在 $2 x + 1$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- (2 x + 1) + 1 \leq 8$

解题步骤 1.7

书写为分段式。

${\begin{cases} 2 x + 1 + 1 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - (2 x + 1) + 1 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

解题步骤 1.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - (2 x + 1) + 1 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

解题步骤 1.9

化简 $- (2 x + 1) + 1 \leq 8$ 。

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解题步骤 1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.9.1.1

运用分配律。

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - (2 x) - 1 \cdot 1 + 1 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

解题步骤 1.9.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - 2 x - 1 \cdot 1 + 1 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

解题步骤 1.9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - 2 x - 1 + 1 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

解题步骤 1.9.2

合并 $- 2 x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.9.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - 2 x + 0 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

解题步骤 1.9.2.2

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - 2 x \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

解题步骤 2

当 $x \geq - \frac{1}{2}$ 时求解 $2 x + 2 \leq 8$ 。

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解题步骤 2.1

求解 $x$ 的 $2 x + 2 \leq 8$ 。

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解题步骤 2.1.1

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 2.1.1.1

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$2 x \leq 8 - 2$

解题步骤 2.1.1.2

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$2 x \leq 6$

解题步骤 2.1.2

将 $2 x \leq 6$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $2 x \leq 6$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{6}{2}$

解题步骤 2.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{6}{2}$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{6}{2}$

解题步骤 2.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.1.2.3.1

用 $6$ 除以 $2$ 。

$x \leq 3$

解题步骤 2.2

求 $x \leq 3$ 和 $x \geq - \frac{1}{2}$ 的交点。

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 3$

解题步骤 3

当 $x < - \frac{1}{2}$ 时求解 $- 2 x \leq 8$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 2 x \leq 8$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- 2 x \leq 8$ 中的每一项除以 $- 2$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{8}{- 2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{8}{- 2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{8}{- 2}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

用 $8$ 除以 $- 2$ 。

$x \geq - 4$

解题步骤 3.2

求 $x \geq - 4$ 和 $x < - \frac{1}{2}$ 的交点。

$- 4 \leq x < - \frac{1}{2}$

解题步骤 4

求解的并集。

$- 4 \leq x \leq 3$

解题步骤 5

把不等式转换成区间计数法。

$[- 4, 3]$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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