初级微积分示例

$\frac{5 x + 69}{{(x - 3)}^{2} (x + 4)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{B}{x - 3}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 4}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x - 3)}^{2} (x + 4)$ 。

$\frac{(5 x + 69) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2} (x + 4)} = \frac{(A) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.5

约去 ${(x - 3)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(5 x + 69) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2} (x + 4)} = \frac{(A) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{(5 x + 69) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.6

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{(5 x + 69) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.6.2

用 $5 x + 69$ 除以 $1$ 。

$5 x + 69 = \frac{(A) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

约去 ${(x - 3)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1.1

约去公因数。

$5 x + 69 = \frac{A {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.1.2

用 $(A) (x + 4)$ 除以 $1$ 。

$5 x + 69 = (A) (x + 4) + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$5 x + 69 = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.3

将 $4$ 移到 $A$ 的左侧。

$5 x + 69 = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.4

约去 ${(x - 3)}^{2}$ 和 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.1

从 $(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + \frac{(x - 3) (B (x - 3) (x + 4))}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.4.2.1

乘以 $1$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + \frac{(x - 3) (B (x - 3) (x + 4))}{(x - 3) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.4.2.2

约去公因数。

$5 x + 69 = A x + 4 A + \frac{(x - 3) (B (x - 3) (x + 4))}{(x - 3) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.4.2.3

重写表达式。

$5 x + 69 = A x + 4 A + \frac{B (x - 3) (x + 4)}{1} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.4.2.4

用 $B (x - 3) (x + 4)$ 除以 $1$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B (x - 3) (x + 4) + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.5

运用分配律。

$5 x + 69 = A x + 4 A + (B x + B \cdot - 3) (x + 4) + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.6

将 $- 3$ 移到 $B$ 的左侧。

$5 x + 69 = A x + 4 A + (B x - 3 \cdot B) (x + 4) + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.7

使用 FOIL 方法展开 $(B x - 3 B) (x + 4)$ 。

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解题步骤 1.7.7.1

运用分配律。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x (x + 4) - 3 B (x + 4) + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.7.2

运用分配律。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 4 - 3 B (x + 4) + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.7.3

运用分配律。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 4 - 3 B x - 3 B \cdot 4 + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.7.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.8.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.8.1.1.1

移动 $x$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 4 - 3 B x - 3 B \cdot 4 + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.8.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x \cdot 4 - 3 B x - 3 B \cdot 4 + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.8.1.2

将 $4$ 移到 $B x$ 的左侧。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + 4 \cdot (B x) - 3 B x - 3 B \cdot 4 + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.8.1.3

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + 4 B x - 3 B x - 12 B + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.8.2

从 $4 B x$ 中减去 $3 B x$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + 1 B x - 12 B + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.9

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.10

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.10.1

约去公因数。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.7.10.2

用 $(C) {(x - 3)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + (C) {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 1.7.11

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C ((x - 3) (x - 3))$

解题步骤 1.7.12

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 1.7.12.1

运用分配律。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

解题步骤 1.7.12.2

运用分配律。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

解题步骤 1.7.12.3

运用分配律。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 1.7.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.7.13.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.13.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 1.7.13.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 1.7.13.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

解题步骤 1.7.13.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x^{2} - 6 x + 9)$

解题步骤 1.7.14

运用分配律。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C x^{2} + C (- 6 x) + C \cdot 9$

解题步骤 1.7.15

化简。

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解题步骤 1.7.15.1

使用乘法的交换性质重写。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C x^{2} - 6 C x + C \cdot 9$

解题步骤 1.7.15.2

将 $9$ 移到 $C$ 的左侧。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C x^{2} - 6 C x + 9 \cdot C$

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C x^{2} - 6 C x + 9 C$

解题步骤 1.8

化简表达式。

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解题步骤 1.8.1

将 $B$ 和 $x$ 重新排序。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C x^{2} - 6 C x + 9 C$

解题步骤 1.8.2

移动 $- 12 B$ 。

$5 x + 69 = A x + 4 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 6 C x - 12 B + 9 C$

解题步骤 1.8.3

移动 $4 A$ 。

$5 x + 69 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} - 6 C x + 4 A - 12 B + 9 C$

解题步骤 1.8.4

移动 $B x$ 。

$5 x + 69 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x - 6 C x + 4 A - 12 B + 9 C$

解题步骤 1.8.5

移动 $A x$ 。

$5 x + 69 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x - 6 C x + 4 A - 12 B + 9 C$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = B + C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$5 = A + B - 6 C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = B + C$

$5 = A + B - 6 C$

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

$0 = B + C$

$5 = A + B - 6 C$

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $0 = B + C$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $B + C = 0$ 。

$B + C = 0$

$5 = A + B - 6 C$

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$B = - C$

$5 = A + B - 6 C$

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

$B = - C$

$5 = A + B - 6 C$

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- C$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- C$ 替换 $5 = A + B - 6 C$ 中所有出现的 $B$ .

$5 = A - C - 6 C$

$B = - C$

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

解题步骤 3.2.2

化简 $5 = A - C - 6 C$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1.1

去掉圆括号。

$5 = A - C - 6 C$

$B = - C$

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

$5 = A - C - 6 C$

$B = - C$

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

解题步骤 3.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

从 $- C$ 中减去 $6 C$ 。

$5 = A - 7 C$

$B = - C$

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

$5 = A - 7 C$

$B = - C$

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

$5 = A - 7 C$

$B = - C$

$69 = 4 A - 12 B + 9 C$

解题步骤 3.2.3

使用 $- C$ 替换 $69 = 4 A - 12 B + 9 C$ 中所有出现的 $B$ .

$69 = 4 A - 12 (- C) + 9 C$

$5 = A - 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

化简 $4 A - 12 (- C) + 9 C$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$69 = 4 A + 12 C + 9 C$

$5 = A - 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.2.4.1.2

将 $12 C$ 和 $9 C$ 相加。

$69 = 4 A + 21 C$

$5 = A - 7 C$

$B = - C$

$69 = 4 A + 21 C$

$5 = A - 7 C$

$B = - C$

$69 = 4 A + 21 C$

$5 = A - 7 C$

$B = - C$

$69 = 4 A + 21 C$

$5 = A - 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.3

在 $5 = A - 7 C$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $A - 7 C = 5$ 。

$A - 7 C = 5$

$69 = 4 A + 21 C$

$B = - C$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $7 C$ 。

$A = 5 + 7 C$

$69 = 4 A + 21 C$

$B = - C$

$A = 5 + 7 C$

$69 = 4 A + 21 C$

$B = - C$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $5 + 7 C$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $5 + 7 C$ 替换 $69 = 4 A + 21 C$ 中所有出现的 $A$ .

$69 = 4 (5 + 7 C) + 21 C$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $4 (5 + 7 C) + 21 C$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用分配律。

$69 = 4 \cdot 5 + 4 (7 C) + 21 C$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$69 = 20 + 4 (7 C) + 21 C$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$69 = 20 + 28 C + 21 C$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

$69 = 20 + 28 C + 21 C$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $28 C$ 和 $21 C$ 相加。

$69 = 20 + 49 C$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

$69 = 20 + 49 C$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

$69 = 20 + 49 C$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

$69 = 20 + 49 C$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.5

在 $69 = 20 + 49 C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $20 + 49 C = 69$ 。

$20 + 49 C = 69$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去 $20$ 。

$49 C = 69 - 20$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.5.2.2

从 $69$ 中减去 $20$ 。

$49 C = 49$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

$49 C = 49$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.5.3

将 $49 C = 49$ 中的每一项除以 $49$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $49 C = 49$ 中的每一项都除以 $49$ 。

$\frac{49 C}{49} = \frac{49}{49}$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $49$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{49 C}{49} = \frac{49}{49}$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{49}{49}$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

$C = \frac{49}{49}$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

$C = \frac{49}{49}$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

用 $49$ 除以 $49$ 。

$C = 1$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 5 + 7 C$

$B = - C$

解题步骤 3.6

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $1$ 替换 $A = 5 + 7 C$ 中所有出现的 $C$ .

$A = 5 + 7 (1)$

$C = 1$

$B = - C$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.1

化简 $5 + 7 (1)$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$A = 5 + 7$

$C = 1$

$B = - C$

解题步骤 3.6.2.1.2

将 $5$ 和 $7$ 相加。

$A = 12$

$C = 1$

$B = - C$

$A = 12$

$C = 1$

$B = - C$

$A = 12$

$C = 1$

$B = - C$

解题步骤 3.6.3

使用 $1$ 替换 $B = - C$ 中所有出现的 $C$ .

$B = - (1)$

$A = 12$

$C = 1$

解题步骤 3.6.4

化简右边。

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解题步骤 3.6.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$B = - 1$

$A = 12$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 12$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 12$

$C = 1$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$B = - 1, A = 12, C = 1$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 4}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{12}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 3} + \frac{1}{x + 4}$

初级微积分 示例

初级微积分示例