初级微积分示例

$y = 3 - 4 x$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 3 - 4 y$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $3 - 4 y = x$ 。

$3 - 4 y = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 4 y = x - 3$

解题步骤 2.3

将 $- 4 y = x - 3$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 4 y = x - 3$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$ 是否为 $f (x) = 3 - 4 x$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (3 - 4 x)$ 。

$f^{- 1} (3 - 4 x) = - \frac{3 - 4 x}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- (3 - 4 x) + 3}{4}$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.1

运用分配律。

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 4 x) + 3}{4}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- 3 - (- 4 x) + 3}{4}$

解题步骤 4.2.4.3

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- 3 + 4 x + 3}{4}$

解题步骤 4.2.5

化简项。

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解题步骤 4.2.5.1

合并 $- 3 + 4 x + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.5.1.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{4 x + 0}{4}$

解题步骤 4.2.5.1.2

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 4.2.5.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 4.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 - 4 x) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4})$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 4 (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4})$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 4 (- \frac{x}{4}) - 4 (\frac{3}{4})$

解题步骤 4.3.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 $- \frac{x}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 4 \frac{- x}{4} - 4 (\frac{3}{4})$

解题步骤 4.3.3.2.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + 4 (- 1) (\frac{- x}{4}) - 4 (\frac{3}{4})$

解题步骤 4.3.3.2.3

约去公因数。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + 4 \cdot (- 1 \frac{- x}{4}) - 4 (\frac{3}{4})$

解题步骤 4.3.3.2.4

重写表达式。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 1 (- x) - 4 (\frac{3}{4})$

解题步骤 4.3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + 1 x - 4 (\frac{3}{4})$

解题步骤 4.3.3.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x - 4 (\frac{3}{4})$

解题步骤 4.3.3.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.5.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x + 4 (- 1) (\frac{3}{4})$

解题步骤 4.3.3.5.2

约去公因数。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x + 4 \cdot (- 1 (\frac{3}{4}))$

解题步骤 4.3.3.5.3

重写表达式。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x - 1 \cdot 3$

解题步骤 4.3.3.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x - 3$

解题步骤 4.3.4

合并 $3 + x - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = x + 0$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$ 为 $f (x) = 3 - 4 x$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

初级微积分 示例

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