初级微积分示例

$y = 2^{x} - 3$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 2^{y} - 3$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $2^{y} - 3 = x$ 。

$2^{y} - 3 = x$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$2^{y} = x + 3$

解题步骤 2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{y}) = \ln (x + 3)$

解题步骤 2.4

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{y})$ 。

$y \ln (2) = \ln (x + 3)$

解题步骤 2.5

将 $y \ln (2) = \ln (x + 3)$ 中的每一项除以 $\ln (2)$ 并化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $y \ln (2) = \ln (x + 3)$ 中的每一项都除以 $\ln (2)$ 。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

解题步骤 2.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ 是否为 $f (x) = 2^{x} - 3$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2^{x} - 3)$ 。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln ((2^{x} - 3) + 3)}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.3

合并 $2^{x} - 3 + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x} + 0)}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $2^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.4

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{x})$ 。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.5

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)})$ 。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}} - 3$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x + 3)} - 3$

解题步骤 4.3.3.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 3 - 3$

解题步骤 4.3.4

合并 $x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 0$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ 为 $f (x) = 2^{x} - 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

初级微积分 示例

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