初级微积分示例

$f (x) = \frac{5}{x}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{5}{x + h}$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 $\frac{5}{x + h}$ 。

$\frac{5}{x + h}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{5}{x + h}$

$f (x) = \frac{5}{x}$

$f (x + h) = \frac{5}{x + h}$

$f (x) = \frac{5}{x}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{5}{x + h} - (\frac{5}{x})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{5}{x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{5}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{5}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{\frac{5}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h) x$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{5}{x + h}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{5 x}{(x + h) x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{5}{x}$ 乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{\frac{5 x}{(x + h) x} - \frac{5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(x + h) x$ 的因式。

$\frac{\frac{5 x}{x (x + h)} - \frac{5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{5 x - 5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{5 x - 5 (x + h)}{x (x + h)}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

从 $5 x - 5 (x + h)$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 4.1.5.1.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{\frac{5 (x) - 5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

从 $- 5 (x + h)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{\frac{5 (x) + 5 (- (x + h))}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.3

从 $5 (x) + 5 (- (x + h))$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{\frac{5 (x - (x + h))}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

运用分配律。

$\frac{\frac{5 (x - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{5 (0 - h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

从 $0$ 中减去 $h$ 。

$\frac{\frac{5 \cdot - 1 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

合并指数。

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解题步骤 4.1.5.5.1

提取负因数。

$\frac{\frac{- (5 h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 5 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{5 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{5 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

将 $- \frac{5 h}{x (x + h)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 5 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

从 $- 5 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot - 5}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$\frac{h \cdot - 5}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$\frac{- 5}{x (x + h)}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{x (x + h)}$

解题步骤 5

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