初级微积分示例

$[\begin{array}{c} 1 & 5 & - 2 \\ 7 & 4 & 1 \\ - 3 & 1 & 6 \end{array}]$

解题步骤 1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 1.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.4

将元素 $a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.6

将元素 $a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$- 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.8

将元素 $a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$- 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.9

最后把这些项加起来。

$1 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 6 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2

计算 $| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 6 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 (4 \cdot 6 - 1 \cdot 1) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$1 (24 - 1 \cdot 1) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 (24 - 1) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

从 $24$ 中减去 $1$ 。

$1 \cdot 23 - 5 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & 6 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 23 - 5 (7 \cdot 6 - (- 3 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$1 \cdot 23 - 5 (42 - (- 3 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.1.2

乘以 $- (- 3 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot 23 - 5 (42 - - 3) - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$1 \cdot 23 - 5 (42 + 3) - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

将 $42$ 和 $3$ 相加。

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 | \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 (7 \cdot 1 - (- 3 \cdot 4))$

解题步骤 4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 (7 - (- 3 \cdot 4))$

解题步骤 4.2.1.2

乘以 $- (- 3 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 (7 - - 12)$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 (7 + 12)$

解题步骤 4.2.2

将 $7$ 和 $12$ 相加。

$1 \cdot 23 - 5 \cdot 45 - 2 \cdot 19$

解题步骤 5

化简行列式。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

将 $23$ 乘以 $1$ 。

$23 - 5 \cdot 45 - 2 \cdot 19$

解题步骤 5.1.2

将 $- 5$ 乘以 $45$ 。

$23 - 225 - 2 \cdot 19$

解题步骤 5.1.3

将 $- 2$ 乘以 $19$ 。

$23 - 225 - 38$

解题步骤 5.2

从 $23$ 中减去 $225$ 。

$- 202 - 38$

解题步骤 5.3

从 $- 202$ 中减去 $38$ 。

$- 240$

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