初级微积分示例

$x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$

解题步骤 1

对 $x^{2} - 3 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

解题步骤 1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$d = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{3}{2}$

解题步骤 1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{9}{4}$

解题步骤 1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{9}{4}$ 。

$e = - \frac{9}{4}$

解题步骤 1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

解题步骤 2

在方程 $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ 中，用 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ 代替 $x^{2} - 3 x$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y + y^{2} = 81$

解题步骤 3

通过在等式两边同时加上 $\frac{9}{4}$ 的方法来将 $- \frac{9}{4}$ 移到等式右边。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y + y^{2} = 81 + \frac{9}{4}$

解题步骤 4

对 $y + y^{2}$ 进行配方。

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解题步骤 4.1

将 $y$ 和 $y^{2}$ 重新排序。

$y^{2} + y$

解题步骤 4.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

解题步骤 4.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 4.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

约去公因数。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.2

重写表达式。

$d = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 4.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

化简右边。

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解题步骤 4.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{1}{4}$

解题步骤 4.5.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{4}$ 。

$e = - \frac{1}{4}$

解题步骤 4.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 。

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

解题步骤 5

在方程 $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ 中，用 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 代替 $y + y^{2}$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = 81 + \frac{9}{4}$

解题步骤 6

通过在等式两边同时加上 $\frac{1}{4}$ 的方法来将 $- \frac{1}{4}$ 移到等式右边。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 7

化简 $81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 7.1

在公分母上合并分子。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9 + 1}{4}$

解题步骤 7.2

将 $9$ 和 $1$ 相加。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{10}{4}$

解题步骤 7.3

约去 $10$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 (5)}{4}$

解题步骤 7.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.3.2.2

约去公因数。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.3.2.3

重写表达式。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{5}{2}$

解题步骤 7.4

要将 $81$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}$

解题步骤 7.5

组合 $81$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}$

解题步骤 7.6

在公分母上合并分子。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2 + 5}{2}$

解题步骤 7.7

化简分子。

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解题步骤 7.7.1

将 $81$ 乘以 $2$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{162 + 5}{2}$

解题步骤 7.7.2

将 $162$ 和 $5$ 相加。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{167}{2}$

初级微积分 示例

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