初级微积分示例

$y = \frac{π}{2} + \sin (x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{π}{2} + \sin (y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{π}{2} + \sin (y) = x$ 。

$\frac{π}{2} + \sin (y) = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $\frac{π}{2}$ 。

$\sin (y) = x - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$y = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ 是否为 $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x))$ 。

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin ((\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2})$

解题步骤 4.2.3

合并 $(\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.3.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{π - π}{2} + \sin (x))$

解题步骤 4.2.3.2

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{0}{2} + \sin (x))$

解题步骤 4.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.2.4.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (0 + \sin (x))$

解题步骤 4.2.4.2

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\sin (x))$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$ 。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + \sin (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$

解题步骤 4.3.3

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.3.4

合并 $\frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

在公分母上合并分子。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

解题步骤 4.3.4.2

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 4.3.5.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + 0$

解题步骤 4.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ 为 $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

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