初级微积分示例

${(x + 4)}^{2} = 12 (y - 2)$

解题步骤 1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1

将 $y$ 单独提取至等式的左边。

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解题步骤 1.1.1

将方程重写为 $12 (y - 2) = {(x + 4)}^{2}$ 。

$12 (y - 2) = {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 1.1.2

将 $12 (y - 2) = {(x + 4)}^{2}$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $12 (y - 2) = {(x + 4)}^{2}$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 (y - 2)}{12} = \frac{{(x + 4)}^{2}}{12}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 (y - 2)}{12} = \frac{{(x + 4)}^{2}}{12}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $y - 2$ 除以 $1$ 。

$y - 2 = \frac{{(x + 4)}^{2}}{12}$

解题步骤 1.1.3

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = \frac{{(x + 4)}^{2}}{12} + 2$

解题步骤 1.1.4

重新排序项。

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x + 4)}^{2} + 2$

解题步骤 1.2

对 $\frac{1}{12} \cdot {(x + 4)}^{2} + 2$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 1.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1.1

将 ${(x + 4)}^{2}$ 重写为 $(x + 4) (x + 4)$ 。

$\frac{1}{12} \cdot ((x + 4) (x + 4)) + 2$

解题步骤 1.2.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 4) (x + 4)$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.2.1

运用分配律。

$\frac{1}{12} \cdot (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + 2$

解题步骤 1.2.1.1.2.2

运用分配律。

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + 2$

解题步骤 1.2.1.1.2.3

运用分配律。

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 2$

解题步骤 1.2.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 2$

解题步骤 1.2.1.1.3.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + 2$

解题步骤 1.2.1.1.3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + 2$

解题步骤 1.2.1.1.3.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 8 x + 16) + 2$

解题步骤 1.2.1.1.4

运用分配律。

$\frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{12} (8 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5

化简。

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解题步骤 1.2.1.1.5.1

组合 $\frac{1}{12}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{12} (8 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1.5.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (8 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5.2.2

从 $8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (4 (2 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5.2.3

约去公因数。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 \cdot 3} (4 (2 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5.2.4

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{3} (2 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2}{3} x + \frac{1}{12} \cdot 16 + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5.4

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{12} \cdot 16 + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1.5.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5.5.2

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5.5.3

约去公因数。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5.5.4

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 4 + 2$

解题步骤 1.2.1.1.5.6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $4$ 。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 2$

解题步骤 1.2.1.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.2.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.2.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.2.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.1.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 6}{3}$

解题步骤 1.2.1.5.2

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{10}{3}$

解题步骤 1.2.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = \frac{1}{12}$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{10}{3}$

解题步骤 1.2.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2

重写表达式。

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

解题步骤 1.2.4.2.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{\frac{1}{12}}$ 。

$d = \frac{1}{3 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.4.2.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$d = \frac{1}{\frac{3}{12}}$

解题步骤 1.2.4.2.5

约去 $3$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.5.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{1}{\frac{3 (1)}{12}}$

解题步骤 1.2.4.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.5.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

解题步骤 1.2.4.2.5.2.2

约去公因数。

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

解题步骤 1.2.4.2.5.2.3

重写表达式。

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.2.4.2.6

将分子乘以分母的倒数。

$d = 1 \cdot 4$

解题步骤 1.2.4.2.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$d = 4$

解题步骤 1.2.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = \frac{10}{3} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.2.1.1.1

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{12}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.3

约去 $4$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.1.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 (1)}{12}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.1.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.3.2.2

约去公因数。

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.3.2.3

重写表达式。

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{9} \cdot 3)$

解题步骤 1.2.5.2.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.1.5.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{3 (3)} \cdot 3)$

解题步骤 1.2.5.2.1.5.2

约去公因数。

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

解题步骤 1.2.5.2.1.5.3

重写表达式。

$e = \frac{10}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 1.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$e = \frac{10 - 4}{3}$

解题步骤 1.2.5.2.3

从 $10$ 中减去 $4$ 。

$e = \frac{6}{3}$

解题步骤 1.2.5.2.4

用 $6$ 除以 $3$ 。

$e = 2$

解题步骤 1.2.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $\frac{1}{12} {(x + 4)}^{2} + 2$ 。

$\frac{1}{12} {(x + 4)}^{2} + 2$

解题步骤 1.3

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x + 4)}^{2} + 2$

解题步骤 2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = \frac{1}{12}$

$h = - 4$

$k = 2$

解题步骤 3

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- 4, 2)$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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