初级微积分示例

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x + 16 y - 43 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $43$ 。

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x + 16 y = 43$

解题步骤 2

对 $9 x^{2} - 18 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 9}{9}$

解题步骤 2.3.2.2

约去 $- 9$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对 $- 18$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - \frac{324}{36}$

解题步骤 2.4.2.1.3

用 $324$ 除以 $36$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 9$

解题步骤 2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - 9$

解题步骤 2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$e = - 9$

解题步骤 2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ 。

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

解题步骤 3

在方程 $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x + 16 y = 43$ 中，用 $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ 代替 $9 x^{2} - 18 x$ 。

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} + 16 y = 43$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $9$ 的方法来将 $- 9$ 移到等式右边。

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} + 16 y = 43 + 9$

解题步骤 5

对 $- 4 y^{2} + 16 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 4$

$b = 16$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{16}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (- 4)}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{8}{- 4}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $8$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 (2)}{- 4}$

解题步骤 5.3.2.2.2

移动 $\frac{2}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 2$

解题步骤 5.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$d = - 2$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot - 4}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot - 4}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$e = 0 - \frac{256}{- 16}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用 $256$ 除以 $- 16$ 。

$e = 0 - - 16$

解题步骤 5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$e = 0 + 16$

解题步骤 5.4.2.2

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$e = 16$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 4 {(y - 2)}^{2} + 16$ 。

$- 4 {(y - 2)}^{2} + 16$

解题步骤 6

在方程 $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x + 16 y = 43$ 中，用 $- 4 {(y - 2)}^{2} + 16$ 代替 $- 4 y^{2} + 16 y$ 。

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} + 16 = 43 + 9$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $16$ 的方法来将 $16$ 移到等式右边。

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} = 43 + 9 - 16$

解题步骤 8

化简 $43 + 9 - 16$ 。

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解题步骤 8.1

将 $43$ 和 $9$ 相加。

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} = 52 - 16$

解题步骤 8.2

从 $52$ 中减去 $16$ 。

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} = 36$

解题步骤 9

将每一项除以 $36$ 以使方程右边等于一。

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y - 2)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{9} = 1$

初级微积分 示例

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