初级微积分示例

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y + 221 = 0$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $221$ 。

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$

解题步骤 1.2

对 $5 x^{2} - 80 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 5$

$b = - 80$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 80}{2 \cdot 5}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 80$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $- 80$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 (5)}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 40}{5}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $- 40$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $- 40$ 中分解出因数 $5$ 。

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 (1)}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 8}{1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.4

用 $- 8$ 除以 $1$ 。

$d = - 8$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 80)}^{2}}{4 \cdot 5}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $- 80$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{6400}{4 \cdot 5}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$e = 0 - \frac{6400}{20}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $6400$ 除以 $20$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 320$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $320$ 。

$e = 0 - 320$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $320$ 。

$e = - 320$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ 。

$5 {(x - 8)}^{2} - 320$

解题步骤 1.3

在方程 $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ 中，用 $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ 代替 $5 x^{2} - 80 x$ 。

$5 {(x - 8)}^{2} - 320 + 9 y^{2} + 54 y = - 221$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $320$ 的方法来将 $- 320$ 移到等式右边。

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 221 + 320$

解题步骤 1.5

对 $9 y^{2} + 54 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $54$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $54$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{27}{9}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $27$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{3}{1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$d = 3$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $54$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

用 $2916$ 除以 $36$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 81$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $81$ 。

$e = 0 - 81$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $81$ 。

$e = - 81$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ 。

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

解题步骤 1.6

在方程 $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ 中，用 $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ 代替 $9 y^{2} + 54 y$ 。

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 221 + 320$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $81$ 的方法来将 $- 81$ 移到等式右边。

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 221 + 320 + 81$

解题步骤 1.8

化简 $- 221 + 320 + 81$ 。

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解题步骤 1.8.1

将 $- 221$ 和 $320$ 相加。

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 99 + 81$

解题步骤 1.8.2

将 $99$ 和 $81$ 相加。

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 180$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $180$ 以使方程右边等于一。

$\frac{5 {(x - 8)}^{2}}{180} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{36} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{20} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 6$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 8$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(8, - 3)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

解题步骤 5.3.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

解题步骤 5.3.2

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}$

解题步骤 5.3.3

乘以 $- (4 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{36 - 1 \cdot 20}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $20$ 。

$\sqrt{36 - 20}$

解题步骤 5.3.4

从 $36$ 中减去 $20$ 。

$\sqrt{16}$

解题步骤 5.3.5

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\sqrt{4^{2}}$

解题步骤 5.3.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(8 + 6, - 3)$

解题步骤 6.3

化简。

$(14, - 3)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(8 - (6), - 3)$

解题步骤 6.6

化简。

$(2, - 3)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(8 + 4, - 3)$

解题步骤 7.3

化简。

$(12, - 3)$

解题步骤 7.4

椭圆的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(8 - (4), - 3)$

解题步骤 7.6

化简。

$(4, - 3)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

解题步骤 8.3.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

解题步骤 8.3.1.4

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 8.3.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{6}$

解题步骤 8.3.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{6}$

解题步骤 8.3.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

解题步骤 8.3.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

解题步骤 8.3.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}}{6}$

解题步骤 8.3.1.4.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}}{6}$

解题步骤 8.3.1.5

乘以 $- (4 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 8.3.1.5.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 20}}{6}$

解题步骤 8.3.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $20$ 。

$\frac{\sqrt{36 - 20}}{6}$

解题步骤 8.3.1.6

从 $36$ 中减去 $20$ 。

$\frac{\sqrt{16}}{6}$

解题步骤 8.3.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{6}$

解题步骤 8.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{4}{6}$

解题步骤 8.3.2

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2)}{6}$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(8, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

离心率： $\frac{2}{3}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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