初级微积分示例

${(\sqrt{3} + i)}^{6}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

${\sqrt{3}}^{6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${\sqrt{3}}^{6}$ 重写为 $3^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

${(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$3^{\frac{6}{2}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.1.4.2.2

约去公因数。

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.1.4.2.3

重写表达式。

$3^{\frac{3}{1}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3^{3} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{3^{5}}$ 。

$27 + 6 \sqrt{3^{5}} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.4

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$27 + 6 \sqrt{243} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.5

将 $243$ 重写为 $9^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

从 $243$ 中分解出因数 $81$ 。

$27 + 6 \sqrt{81 (3)} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.5.2

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$27 + 6 \sqrt{9^{2} \cdot 3} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.6

从根式下提出各项。

$27 + 6 (9 \sqrt{3}) i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.7

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.8

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.8.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.8.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.8.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.8.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.8.4.2.2

约去公因数。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.8.4.2.3

重写表达式。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.8.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{2} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 9 i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.10

将 $15$ 乘以 $9$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 135 i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.11

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i + 135 \cdot - 1 + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.12

将 $135$ 乘以 $- 1$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.13

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{3^{3}} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.14

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{27} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.15

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.1.15.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{9 (3)} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.15.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.16

从根式下提出各项。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (3 \sqrt{3}) i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.17

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.18

因式分解出 $i^{2}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.19

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (- 1 \cdot i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.20

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (- i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.21

将 $- 1$ 乘以 $60$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.22

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.22.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.22.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.22.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.22.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.22.4.1

约去公因数。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.22.4.2

重写表达式。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{1} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.22.5

计算指数。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3 i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.23

将 $15$ 乘以 $3$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.24

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.24.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 {(i^{2})}^{2} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.24.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 {(- 1)}^{2} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.24.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 \cdot 1 + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.25

将 $45$ 乘以 $1$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.26

因式分解出 $i^{4}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} (i^{4} i) + i^{6}$

解题步骤 2.1.27

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.27.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

解题步骤 2.1.27.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

解题步骤 2.1.27.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} (1 i) + i^{6}$

解题步骤 2.1.28

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{6}$

解题步骤 2.1.29

因式分解出 $i^{4}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{4} i^{2}$

解题步骤 2.1.30

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.30.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

解题步骤 2.1.30.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

解题步骤 2.1.30.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + 1 i^{2}$

解题步骤 2.1.31

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{2}$

解题步骤 2.1.32

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $27$ 中减去 $135$ 。

$54 \sqrt{3} i - 108 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

解题步骤 2.2.2

从 $54 \sqrt{3} i$ 中减去 $60 \sqrt{3} i$ 。

$- 6 \sqrt{3} i - 108 + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

解题步骤 2.2.3

将 $- 6 \sqrt{3} i$ 和 $6 \sqrt{3} i$ 相加。

$0 - 108 + 45 - 1$

解题步骤 2.2.4

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.4.1

从 $0$ 中减去 $108$ 。

$- 108 + 45 - 1$

解题步骤 2.2.4.2

将 $- 108$ 和 $45$ 相加。

$- 63 - 1$

解题步骤 2.2.4.3

从 $- 63$ 中减去 $1$ 。

$- 64$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - 64$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $- 64$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

解题步骤 6.3

将 $0$ 和 $4096$ 相加。

$| z | = \sqrt{4096}$

解题步骤 6.4

将 $4096$ 重写为 $64^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

解题步骤 6.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 64$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

解题步骤 8

因为 $\frac{0}{- 64}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $π$ 。

$θ = π$

解题步骤 9

代入 $θ = π$ 和 $| z | = 64$ 的值。

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$

初级微积分 示例

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