初级微积分示例

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ)$

解题步骤 2

因数。

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解题步骤 2.1

将 $\cos^{4} (θ)$ 重写为 ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ 。

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - \sin^{4} (θ)$

解题步骤 2.2

将 $\sin^{4} (θ)$ 重写为 ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ 。

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - {(\sin^{2} (θ))}^{2}$

解题步骤 2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos^{2} (θ)$ 和 $b = \sin^{2} (θ)$ 。

$(\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

重新整理项。

$(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

解题步骤 2.4.2

使用勾股恒等式。

$1 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

解题步骤 2.4.3

将 $\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

解题步骤 2.4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (θ)$ 和 $b = \sin (θ)$ 。

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

解题步骤 3

运用分配律。

$(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

解题步骤 4.1.2

乘以 $\cos (θ) \cos (θ)$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

${\cos (θ)}^{1} \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

解题步骤 4.1.2.2

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

${\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

解题步骤 4.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

解题步骤 4.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

解题步骤 4.1.4

乘以 $\sin (θ) (- \sin (θ))$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} \sin (θ))$

解题步骤 4.1.4.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1})$

解题步骤 4.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{1 + 1}$

解题步骤 4.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{2}$

解题步骤 4.2

将 $\cos (θ) \sin (θ)$ 和 $\cos (θ) (- \sin (θ))$ 相加。

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解题步骤 4.2.1

将 $\cos (θ)$ 和 $- 1$ 重新排序。

${\cos (θ)}^{2} + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{2}$

解题步骤 4.2.2

从 $\cos (θ) \sin (θ)$ 中减去 $\cos (θ) \sin (θ)$ 。

${\cos (θ)}^{2} + 0 - {\sin (θ)}^{2}$

解题步骤 4.3

将 ${\cos (θ)}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

解题步骤 5

将勾股恒等式反过来使用。

$1 - \sin^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

解题步骤 6

从 $- {\sin (θ)}^{2}$ 中减去 ${\sin (θ)}^{2}$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (θ)$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$ 是一个恒等式

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