初级微积分示例

$\frac{- 11 x - 34}{{(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)$ 。

$\frac{(- 11 x - 34) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{{(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.5

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{(- 11 x - 34) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.6

约去 $x^{2} + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

解题步骤 1.6.2

用 $- 11 x - 34$ 除以 $1$ 。

$- 11 x - 34 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1.1

约去公因数。

$- 11 x - 34 = \frac{A {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.1.2

用 $(A) (x^{2} + 3)$ 除以 $1$ 。

$- 11 x - 34 = (A) (x^{2} + 3) + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.3

将 $3$ 移到 $A$ 的左侧。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.4

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 和 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.1

从 $(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x^{2} + 3))}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.4.2.1

乘以 $1$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x^{2} + 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.4.2.2

约去公因数。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x^{2} + 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.4.2.3

重写表达式。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + \frac{B (x - 2) (x^{2} + 3)}{1} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.4.2.4

用 $B (x - 2) (x^{2} + 3)$ 除以 $1$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B (x - 2) (x^{2} + 3) + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.5

运用分配律。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + (B x + B \cdot - 2) (x^{2} + 3) + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.6

将 $- 2$ 移到 $B$ 的左侧。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + (B x - 2 \cdot B) (x^{2} + 3) + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.7

使用 FOIL 方法展开 $(B x - 2 B) (x^{2} + 3)$ 。

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解题步骤 1.7.7.1

运用分配律。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x (x^{2} + 3) - 2 B (x^{2} + 3) + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.7.2

运用分配律。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 3 - 2 B (x^{2} + 3) + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.7.3

运用分配律。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 3 - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.8

化简每一项。

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解题步骤 1.7.8.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.7.8.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 3 - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.8.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 3 - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{2 + 1} + B x \cdot 3 - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.8.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + B x \cdot 3 - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.8.2

将 $3$ 移到 $B x$ 的左侧。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 \cdot (B x) - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.8.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.9

约去 $x^{2} + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.9.1

约去公因数。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.7.9.2

用 $(C x + D) {(x - 2)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 1.7.10

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) ((x - 2) (x - 2))$

解题步骤 1.7.11

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 1.7.11.1

运用分配律。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

解题步骤 1.7.11.2

运用分配律。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

解题步骤 1.7.11.3

运用分配律。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 1.7.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.7.12.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.12.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 1.7.12.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 1.7.12.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

解题步骤 1.7.12.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x^{2} - 4 x + 4)$

解题步骤 1.7.13

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(C x + D) (x^{2} - 4 x + 4)$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x \cdot x^{2} + C x (- 4 x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

解题步骤 1.7.14

化简每一项。

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解题步骤 1.7.14.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.7.14.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C (x^{2} x) + C x (- 4 x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

解题步骤 1.7.14.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.14.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C (x^{2} x) + C x (- 4 x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

解题步骤 1.7.14.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{2 + 1} + C x (- 4 x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

解题步骤 1.7.14.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} + C x (- 4 x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

解题步骤 1.7.14.2

使用乘法的交换性质重写。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x \cdot x + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

解题步骤 1.7.14.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.14.3.1

移动 $x$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C (x \cdot x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

解题步骤 1.7.14.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

解题步骤 1.7.14.4

将 $4$ 移到 $C x$ 的左侧。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 \cdot (C x) + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

解题步骤 1.7.14.5

使用乘法的交换性质重写。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x + D \cdot 4$

解题步骤 1.7.14.6

将 $4$ 移到 $D$ 的左侧。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x + 4 D$

解题步骤 1.8

化简表达式。

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解题步骤 1.8.1

移动 $B$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 x B - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x + 4 D$

解题步骤 1.8.2

移动 $B$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 x B - 2 x^{2} B - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x + 4 D$

解题步骤 1.8.3

移动 $- 6 B$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 x B - 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x - 6 B + 4 D$

解题步骤 1.8.4

移动 $3 A$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + B x^{3} + 3 x B - 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x + 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 1.8.5

移动 $4 C x$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + B x^{3} + 3 x B - 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x^{2} + D x^{2} + 4 C x - 4 D x + 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 1.8.6

移动 $3 x B$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + B x^{3} - 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x^{2} + D x^{2} + 3 x B + 4 C x - 4 D x + 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 1.8.7

移动 $- 2 x^{2} B$ 。

$- 11 x - 34 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} - 2 x^{2} B - 4 C x^{2} + D x^{2} + 3 x B + 4 C x - 4 D x + 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 1.8.8

移动 $A x^{2}$ 。

$- 11 x - 34 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} - 2 x^{2} B - 4 C x^{2} + D x^{2} + 3 x B + 4 C x - 4 D x + 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{3}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = B + C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

解题步骤 2.3

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

解题步骤 2.4

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 2.5

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = B + C$

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$0 = B + C$

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $0 = B + C$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $B + C = 0$ 。

$B + C = 0$

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$B = - C$

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$B = - C$

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- C$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- C$ 替换 $0 = A - 2 B - 4 C + D$ 中所有出现的 $B$ .

$0 = A - 2 (- C) - 4 C + D$

$B = - C$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $A - 2 (- C) - 4 C + D$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$0 = A + 2 C - 4 C + D$

$B = - C$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 3.2.2.1.2

从 $2 C$ 中减去 $4 C$ 。

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 3.2.3

使用 $- C$ 替换 $- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$ 中所有出现的 $B$ .

$- 11 = 3 (- C) + 4 C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

化简 $3 (- C) + 4 C - 4 D$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 11 = - 3 C + 4 C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 3.2.4.1.2

将 $- 3 C$ 和 $4 C$ 相加。

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

解题步骤 3.2.5

使用 $- C$ 替换 $- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$ 中所有出现的 $B$ .

$- 34 = 3 A - 6 (- C) + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

解题步骤 3.2.6

化简右边。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

解题步骤 3.3

在 $- 11 = C - 4 D$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $C - 4 D = - 11$ 。

$C - 4 D = - 11$

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $4 D$ 。

$C = - 11 + 4 D$

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$C = - 11 + 4 D$

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $- 11 + 4 D$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $- 11 + 4 D$ 替换 $- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$ 中所有出现的 $C$ .

$- 34 = 3 A + 6 (- 11 + 4 D) + 4 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $3 A + 6 (- 11 + 4 D) + 4 D$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用分配律。

$- 34 = 3 A + 6 \cdot - 11 + 6 (4 D) + 4 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

将 $6$ 乘以 $- 11$ 。

$- 34 = 3 A - 66 + 6 (4 D) + 4 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$- 34 = 3 A - 66 + 24 D + 4 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 66 + 24 D + 4 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $24 D$ 和 $4 D$ 相加。

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

解题步骤 3.4.3

使用 $- 11 + 4 D$ 替换 $0 = A - 2 C + D$ 中所有出现的 $C$ .

$0 = A - 2 (- 11 + 4 D) + D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

解题步骤 3.4.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.1

化简 $A - 2 (- 11 + 4 D) + D$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.1.1.1

运用分配律。

$0 = A - 2 \cdot - 11 - 2 (4 D) + D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

解题步骤 3.4.4.1.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 11$ 。

$0 = A + 22 - 2 (4 D) + D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

解题步骤 3.4.4.1.1.3

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$0 = A + 22 - 8 D + D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

$0 = A + 22 - 8 D + D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

解题步骤 3.4.4.1.2

将 $- 8 D$ 和 $D$ 相加。

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

解题步骤 3.4.5

使用 $- 11 + 4 D$ 替换 $B = - C$ 中所有出现的 $C$ .

$B = - (- 11 + 4 D)$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

解题步骤 3.4.6

化简右边。

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解题步骤 3.4.6.1

化简 $- (- 11 + 4 D)$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.1

运用分配律。

$B = 11 - (4 D)$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

解题步骤 3.4.6.1.2

乘。

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解题步骤 3.4.6.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 11$ 。

$B = 11 - (4 D)$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

解题步骤 3.4.6.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$B = 11 - 4 D$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = 11 - 4 D$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = 11 - 4 D$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = 11 - 4 D$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = 11 - 4 D$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

解题步骤 3.5

将 $11$ 和 $- 4 D$ 重新排序。

$B = - 4 D + 11$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

解题步骤 3.6

将 $- 11$ 和 $4 D$ 重新排序。

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

解题步骤 3.7

在 $0 = A + 22 - 7 D$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.7.1

将方程重写为 $A + 22 - 7 D = 0$ 。

$A + 22 - 7 D = 0$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

解题步骤 3.7.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.7.2.1

从等式两边同时减去 $22$ 。

$A - 7 D = - 22$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

解题步骤 3.7.2.2

在等式两边都加上 $7 D$ 。

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

解题步骤 3.8

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 22 + 7 D$ 。

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解题步骤 3.8.1

使用 $- 22 + 7 D$ 替换 $- 34 = 3 A - 66 + 28 D$ 中所有出现的 $A$ .

$- 34 = 3 (- 22 + 7 D) - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.8.2

化简右边。

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解题步骤 3.8.2.1

化简 $3 (- 22 + 7 D) - 66 + 28 D$ 。

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解题步骤 3.8.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.2.1.1.1

运用分配律。

$- 34 = 3 \cdot - 22 + 3 (7 D) - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.8.2.1.1.2

将 $3$ 乘以 $- 22$ 。

$- 34 = - 66 + 3 (7 D) - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.8.2.1.1.3

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$- 34 = - 66 + 21 D - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = - 66 + 21 D - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.8.2.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.8.2.1.2.1

从 $- 66$ 中减去 $66$ 。

$- 34 = 21 D - 132 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.8.2.1.2.2

将 $21 D$ 和 $28 D$ 相加。

$- 34 = 49 D - 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 49 D - 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 49 D - 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 49 D - 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 49 D - 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.9

在 $- 34 = 49 D - 132$ 中求解 $D$ 。

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解题步骤 3.9.1

将方程重写为 $49 D - 132 = - 34$ 。

$49 D - 132 = - 34$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.9.2

将所有不包含 $D$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.9.2.1

在等式两边都加上 $132$ 。

$49 D = - 34 + 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.9.2.2

将 $- 34$ 和 $132$ 相加。

$49 D = 98$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$49 D = 98$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.9.3

将 $49 D = 98$ 中的每一项除以 $49$ 并化简。

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解题步骤 3.9.3.1

将 $49 D = 98$ 中的每一项都除以 $49$ 。

$\frac{49 D}{49} = \frac{98}{49}$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.9.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.9.3.2.1

约去 $49$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{49 D}{49} = \frac{98}{49}$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.9.3.2.1.2

用 $D$ 除以 $1$ 。

$D = \frac{98}{49}$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$D = \frac{98}{49}$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$D = \frac{98}{49}$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.9.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.9.3.3.1

用 $98$ 除以 $49$ 。

$D = 2$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$D = 2$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$D = 2$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$D = 2$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.10

将每个方程中所有出现的 $D$ 替换成 $2$ 。

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解题步骤 3.10.1

使用 $2$ 替换 $A = - 22 + 7 D$ 中所有出现的 $D$ .

$A = - 22 + 7 (2)$

$D = 2$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.10.2

化简右边。

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解题步骤 3.10.2.1

化简 $- 22 + 7 (2)$ 。

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解题步骤 3.10.2.1.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$A = - 22 + 14$

$D = 2$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.10.2.1.2

将 $- 22$ 和 $14$ 相加。

$A = - 8$

$D = 2$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$A = - 8$

$D = 2$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$A = - 8$

$D = 2$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.10.3

使用 $2$ 替换 $C = 4 D - 11$ 中所有出现的 $D$ .

$C = 4 (2) - 11$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.10.4

化简右边。

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解题步骤 3.10.4.1

化简 $4 (2) - 11$ 。

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解题步骤 3.10.4.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$C = 8 - 11$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.10.4.1.2

从 $8$ 中减去 $11$ 。

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = - 4 D + 11$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = - 4 D + 11$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = - 4 D + 11$

解题步骤 3.10.5

使用 $2$ 替换 $B = - 4 D + 11$ 中所有出现的 $D$ .

$B = - 4 \cdot 2 + 11$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

解题步骤 3.10.6

化简右边。

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解题步骤 3.10.6.1

化简 $- 4 \cdot 2 + 11$ 。

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解题步骤 3.10.6.1.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$B = - 8 + 11$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

解题步骤 3.10.6.1.2

将 $- 8$ 和 $11$ 相加。

$B = 3$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = 3$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = 3$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = 3$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

解题步骤 3.11

列出所有解。

$B = 3, C = - 3, A = - 8, D = 2$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的值。

$\frac{- 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2} + \frac{- 3 x + 2}{x^{2} + 3}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

去掉圆括号。

$\frac{- 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2} + \frac{(- 3) \cdot x + 2}{x^{2} + 3}$

解题步骤 5.2

将 $- 3$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2} + \frac{- 3 x + 2}{x^{2} + 3}$

初级微积分 示例

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