初级微积分示例

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y - \frac{1}{2} = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $\frac{1}{2}$ 。

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

解题步骤 2

对 $x^{2} + \frac{3}{4} x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x$ 。

$x^{2} + \frac{3 x}{4}$

解题步骤 2.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

解题步骤 2.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1

约去公因数。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.2.2

重写表达式。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

乘以 $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$d = \frac{3}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$d = \frac{3}{8}$

解题步骤 2.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.1.1.1

对 $\frac{3}{4}$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.1.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.1.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4}$

解题步骤 2.5.2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$e = 0 - (\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 2.5.2.1.4

乘以 $\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.4.1

将 $\frac{9}{16}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$e = 0 - \frac{9}{16 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.1.4.2

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - \frac{9}{64}$

解题步骤 2.5.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{9}{64}$ 。

$e = - \frac{9}{64}$

解题步骤 2.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$

解题步骤 3

在方程 $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ 中，用 ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ 代替 $x^{2} + \frac{3}{4} x$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $\frac{9}{64}$ 的方法来将 $- \frac{9}{64}$ 移到等式右边。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

解题步骤 5

对 $y^{2} + \frac{5}{3} y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $y$ 。

$y^{2} + \frac{5 y}{3}$

解题步骤 5.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

解题步骤 5.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2.2.2

重写表达式。

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.4.2.3

乘以 $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.4.2.3.1

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

解题步骤 5.4.2.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$d = \frac{5}{6}$

解题步骤 5.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.1.1.1

对 $\frac{5}{3}$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.1.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.1.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

解题步骤 5.5.2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 5.5.2.1.4

乘以 $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 5.5.2.1.4.1

将 $\frac{25}{9}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.1.4.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - \frac{25}{36}$

解题步骤 5.5.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{25}{36}$ 。

$e = - \frac{25}{36}$

解题步骤 5.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ 。

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

解题步骤 6

在方程 $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ 中，用 ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ 代替 $y^{2} + \frac{5}{3} y$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $\frac{25}{36}$ 的方法来将 $- \frac{25}{36}$ 移到等式右边。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

解题步骤 8

化简 $\frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$ 。

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解题步骤 8.1

求公分母。

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解题步骤 8.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{288}{288}$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{288}{288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

解题步骤 8.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{288}{288}$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

解题步骤 8.1.3

将 $\frac{9}{64}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{25}{36}$

解题步骤 8.1.4

将 $\frac{9}{64}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

解题步骤 8.1.5

将 $\frac{25}{36}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36} \cdot \frac{16}{16}$

解题步骤 8.1.6

将 $\frac{25}{36}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

解题步骤 8.1.7

将 $2$ 乘以 $288$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

解题步骤 8.1.8

重新排序 $64 \cdot 9$ 的因式。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

解题步骤 8.1.9

将 $9$ 乘以 $64$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

解题步骤 8.1.10

重新排序 $36 \cdot 16$ 的因式。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{16 \cdot 36}$

解题步骤 8.1.11

将 $16$ 乘以 $36$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{576}$

解题步骤 8.2

在公分母上合并分子。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 9 \cdot 9 + 25 \cdot 16}{576}$

解题步骤 8.3

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1

将 $9$ 乘以 $9$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 25 \cdot 16}{576}$

解题步骤 8.3.2

将 $25$ 乘以 $16$ 。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 400}{576}$

解题步骤 8.4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 8.4.1

将 $288$ 和 $81$ 相加。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{369 + 400}{576}$

解题步骤 8.4.2

将 $369$ 和 $400$ 相加。

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{769}{576}$

解题步骤 9

这是圆的形式。使用此形式可确定圆心和圆半径。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

解题步骤 10

将该圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $r$ 表示圆的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$r = \frac{\sqrt{769}}{24}$

$h = - \frac{3}{8}$

$k = - \frac{5}{6}$

解题步骤 11

该圆的圆心求得为 $(h, k)$ 。

中心点： $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

解题步骤 12

这些值代表的是绘制和分析圆时的重要数值。

中心点： $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

半径： $\frac{\sqrt{769}}{24}$

解题步骤 13

初级微积分 示例

初级微积分示例