初级微积分示例

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ 无定义。

$x = - 5, x = - 1$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 5$ 时， $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 5$ 时， $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 5$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 5$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 1$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 5, - 1$

解题步骤 5

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 7

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 8.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 6 x + 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $6$ 。

$1, 5$

解题步骤 8.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{(x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 8.2

展开 $(x + 1) (x + 5)$ 。

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解题步骤 8.2.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x (x + 5) + 1 (x + 5)}$

解题步骤 8.2.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (x + 5)}$

解题步骤 8.2.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5}$

解题步骤 8.2.4

将 $x$ 和 $5$ 重新排序。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

解题步骤 8.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

解题步骤 8.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

解题步骤 8.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{1 + 1} + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

解题步骤 8.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

解题步骤 8.2.9

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + x + 1 \cdot 5}$

解题步骤 8.2.10

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + x + 5}$

解题步骤 8.2.11

将 $5 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 8.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

解题步骤 8.4

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

解题步骤 8.5

将新的商式项乘以除数。

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

解题步骤 8.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x$ 中的所有符号

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

解题步骤 8.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

解题步骤 8.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

						$2 x$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$

解题步骤 8.9

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

						$2 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$

解题步骤 8.10

将新的商式项乘以除数。

						$2 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$5$

解题步骤 8.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - 6 x - 5$ 中的所有符号

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

解题步骤 8.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$x$

$4$

解题步骤 8.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$2 x - 1 + \frac{x + 4}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 8.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 2 x - 1$

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 5, - 1$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 2 x - 1$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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