初级微积分示例

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

解题步骤 2

减分数。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ 。

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{1}{1 + \cos (θ)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ 。

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ 。

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{1 + \cos (θ)}$ 乘以 $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ 。

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ 的因式。

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \cos (θ) - (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

运用分配律。

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 \cdot 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 3.1.3

乘以 $- - \cos (θ)$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + 1 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $\cos (θ)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + \cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\cos (θ)$ 相加。

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 3.4

将 $\cos (θ)$ 和 $\cos (θ)$ 相加。

$\frac{2 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{2 \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

$\frac{2 \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

解题步骤 6

将 $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$ 重写为 $2 \cot (θ) \csc (θ)$ 。

$2 \cot (θ) \csc (θ)$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$ 是一个恒等式

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