初级微积分示例

$y = 3 \sin (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3 \cos (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = 3 (- \sin (x))$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - 3 \sin (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 \cos (x) = 0$

解题步骤 4

将 $3 \cos (x) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $3 \cos (x) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{0}{3}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 7

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 8

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 8.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2

合并分数。

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解题步骤 8.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 8.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9

方程 $x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 10

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 3 \cdot 1$

解题步骤 11.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 13

求 $x = \frac{π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1$

解题步骤 13.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 3$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 14

计算在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 15

计算二阶导数。

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解题步骤 15.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 15.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.3

乘以 $- 3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 15.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 \cdot - 1$

解题步骤 15.3.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$3$

解题步骤 16

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 17

求 $x = \frac{3 π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 17.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 17.2

化简结果。

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解题步骤 17.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 17.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 17.2.3

乘以 $3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 17.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot - 1$

解题步骤 17.2.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3$

解题步骤 17.2.4

最终答案为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 18

这些是 $f (x) = 3 \sin (x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{2}, 3)$ 是一个局部最大值

$(\frac{3 π}{2}, - 3)$ 是一个局部最小值

解题步骤 19

初级微积分 示例

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