初级微积分示例

$f (x) = 2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$

解题步骤 1

将 $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 116, \pm 58, \pm 2, \pm 29, \pm 4, \pm 14.5$

解题步骤 2.1.1.3

代入 $0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $0.5$ 代入多项式。

$2 \cdot {0.5}^{4} - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

解题步骤 2.1.1.3.2

对 $0.5$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 \cdot 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $0.0625$ 。

$0.125 - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

解题步骤 2.1.1.3.4

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$0.125 - 13 \cdot 0.125 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $- 13$ 乘以 $0.125$ 。

$0.125 - 1.625 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

解题步骤 2.1.1.3.6

从 $0.125$ 中减去 $1.625$ 。

$- 1.5 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

解题步骤 2.1.1.3.7

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1.5 - 16 \cdot 0.25 + 243 \cdot 0.5 - 116$

解题步骤 2.1.1.3.8

将 $- 16$ 乘以 $0.25$ 。

$- 1.5 - 4 + 243 \cdot 0.5 - 116$

解题步骤 2.1.1.3.9

从 $- 1.5$ 中减去 $4$ 。

$- 5.5 + 243 \cdot 0.5 - 116$

解题步骤 2.1.1.3.10

将 $243$ 乘以 $0.5$ 。

$- 5.5 + 121.5 - 116$

解题步骤 2.1.1.3.11

将 $- 5.5$ 和 $121.5$ 相加。

$116 - 116$

解题步骤 2.1.1.3.12

从 $116$ 中减去 $116$ 。

$0$

解题步骤 2.1.1.4

因为 $0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116}{2 x - 1}$

解题步骤 2.1.1.5

用 $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ 除以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

解题步骤 2.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$x^{3}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$

解题步骤 2.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			+	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{4} - x^{3}$ 中的所有符号

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 12 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					-	$12 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 12 x^{3} + 6 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

解题步骤 2.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 22 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

解题步骤 2.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

解题步骤 2.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 22 x^{2} + 11 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

解题步骤 2.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

解题步骤 2.1.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

$116$

解题步骤 2.1.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $232 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

$116$

解题步骤 2.1.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									+	$232 x$	-	$116$

解题步骤 2.1.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $232 x - 116$ 中的所有符号

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									-	$232 x$	+	$116$

解题步骤 2.1.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									-	$232 x$	+	$116$
												$0$

解题步骤 2.1.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$

解题步骤 2.1.1.6

将 $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ 书写为因数的集合。

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

解题步骤 2.1.2.1.3

代入 $- 4$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 4$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

将 $- 4$ 代入多项式。

${(- 4)}^{3} - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 64 - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

解题步骤 2.1.2.1.3.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 64 - 6 \cdot 16 - 11 \cdot - 4 + 116$

解题步骤 2.1.2.1.3.4

将 $- 6$ 乘以 $16$ 。

$- 64 - 96 - 11 \cdot - 4 + 116$

解题步骤 2.1.2.1.3.5

从 $- 64$ 中减去 $96$ 。

$- 160 - 11 \cdot - 4 + 116$

解题步骤 2.1.2.1.3.6

将 $- 11$ 乘以 $- 4$ 。

$- 160 + 44 + 116$

解题步骤 2.1.2.1.3.7

将 $- 160$ 和 $44$ 相加。

$- 116 + 116$

解题步骤 2.1.2.1.3.8

将 $- 116$ 和 $116$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.2.1.4

因为 $- 4$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 4$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116}{x + 4}$

解题步骤 2.1.2.1.5

用 $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ 除以 $x + 4$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$4$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

解题步骤 2.1.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$

解题步骤 2.1.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$40 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 10 x^{2} - 40 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

解题步骤 2.1.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $29 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

解题步骤 2.1.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							+	$29 x$	+	$116$

解题步骤 2.1.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $29 x + 116$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$

解题步骤 2.1.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$
										$0$

解题步骤 2.1.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 10 x + 29$

解题步骤 2.1.2.1.6

将 $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ 书写为因数的集合。

$(2 x - 1) ((x + 4) (x^{2} - 10 x + 29)) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

去掉多余的括号。

$(2 x - 1) (x + 4) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

解题步骤 2.3

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} - 10 x + 29$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} - 10 x + 29$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 10 x + 29 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 10$ 和 $c = 29$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 29)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3

化简。

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解题步骤 2.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $29$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

从 $100$ 中减去 $116$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (16)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

解题步骤 2.5.2.3.3

化简 $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ 。

$x = 5 \pm 2 i$

解题步骤 2.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.4.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $29$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.3

从 $100$ 中减去 $116$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.4

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (16)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.3

化简 $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ 。

$x = 5 \pm 2 i$

解题步骤 2.5.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 5 + 2 i$

解题步骤 2.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.5.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ 。

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解题步骤 2.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $29$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.3

从 $100$ 中减去 $116$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.4

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (16)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.3

化简 $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ 。

$x = 5 \pm 2 i$

解题步骤 2.5.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 5 - 2 i$

解题步骤 2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 5 + 2 i, 5 - 2 i$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(2 x - 1) (x + 4) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$ 成立的所有值。根的重数为根出现的次数。

$x = \frac{1}{2}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - 4$ ( $1$ 的倍数)

$x = 5 + 2 i$ ( $1$ 的倍数)

$x = 5 - 2 i$ ( $1$ 的倍数)

$x = \frac{1}{2}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - 4$ ( $1$ 的倍数)

$x = 5 + 2 i$ ( $1$ 的倍数)

$x = 5 - 2 i$ ( $1$ 的倍数)

解题步骤 3

初级微积分 示例

初级微积分示例