初级微积分示例

$y = \arccos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \arccos (\frac{y}{2})$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\arccos (\frac{y}{2}) = x$ 。

$\arccos (\frac{y}{2}) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆反余弦从而提取反余弦内的 $y$ 。

$\frac{y}{2} = \cos (x)$

解题步骤 2.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{y}{2} = 2 \cos (x)$

解题步骤 2.4

化简左边。

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解题步骤 2.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.1

约去公因数。

$2 \frac{y}{2} = 2 \cos (x)$

解题步骤 2.4.1.2

重写表达式。

$y = 2 \cos (x)$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$ 是否为 $f (x) = \arccos (\frac{x}{2})$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2}))$ 。

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}))$

解题步骤 4.2.3

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 4.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (2 \cos (x))$ 。

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\frac{2 \cos (x)}{2})$

解题步骤 4.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\frac{2 \cos (x)}{2})$

解题步骤 4.3.3.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$ 为 $f (x) = \arccos (\frac{x}{2})$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$

初级微积分 示例

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