初级微积分示例

$5 x^{3} + x^{2} - 7 x + 28 = 0$

解题步骤 1

要求正根的可能个数，请观察系数的符号并计算系数符号从正变为负或从负变为正的次数。

$f (x) = 5 x^{3} + x^{2} - 7 x + 28$

解题步骤 2

因为从最高次项到最低次项有 $2$ 次符号的改变，所以最多有 $2$ 个正数根（笛卡尔正负号规则）。其他可能的正数根个数可以通过减去根的对数求得（例如 $(2 - 2)$ ）。

正根： $2$ 或 $0$

解题步骤 3

要求负根的可能个数，请用 $- x$ 替换 $x$ ，并重复比较符号。

$f (- x) = 5 {(- x)}^{3} + {(- x)}^{2} - 7 (- x) + 28$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = 5 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + {(- x)}^{2} - 7 (- x) + 28$

解题步骤 4.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = 5 (- x^{3}) + {(- x)}^{2} - 7 (- x) + 28$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (- x) = - 5 x^{3} + {(- x)}^{2} - 7 (- x) + 28$

解题步骤 4.4

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} x^{2} - 7 (- x) + 28$

解题步骤 4.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- x) = - 5 x^{3} + 1 x^{2} - 7 (- x) + 28$

解题步骤 4.6

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = - 5 x^{3} + x^{2} - 7 (- x) + 28$

解题步骤 4.7

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$f (- x) = - 5 x^{3} + x^{2} + 7 x + 28$

解题步骤 5

因为从最高次项到最低次项有 $1$ 次符号的改变，所以最多有 $1$ 个负数根（笛卡尔正负号规则）。

负根： $1$

解题步骤 6

正根的可能个数为 $2$ 或 $0$ ，负根的可能个数为 $1$ 。

正根： $2$ 或 $0$

负根： $1$

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