初级微积分示例

$x^{3} y = - 6$

解题步骤 1

将 $x^{3} y = - 6$ 中的每一项除以 $x^{3}$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $x^{3} y = - 6$ 中的每一项都除以 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- 6}{x^{3}}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- 6}{x^{3}}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 6}{x^{3}}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{6}{x^{3}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - \frac{6}{y^{3}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- \frac{6}{y^{3}} = x$ 。

$- \frac{6}{y^{3}} = x$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y^{3}, 1$

解题步骤 3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y^{3}$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{6}{y^{3}} = x$ 中的每一项乘以 $y^{3}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{6}{y^{3}} = x$ 中的每一项乘以 $y^{3}$ 。

$- \frac{6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- \frac{6}{y^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.3

重写表达式。

$- 6 = x y^{3}$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $x y^{3} = - 6$ 。

$x y^{3} = - 6$

解题步骤 3.4.2

将 $x y^{3} = - 6$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $x y^{3} = - 6$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y^{3}}{x} = \frac{- 6}{x}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y^{3}}{x} = \frac{- 6}{x}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{- 6}{x}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{3} = - \frac{6}{x}$

解题步骤 3.4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- \frac{6}{x}}$

解题步骤 3.4.4

化简 $\sqrt[3]{- \frac{6}{x}}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $- \frac{6}{x}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{6}{x}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{6}{x}}$

解题步骤 3.4.4.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{6}{x}}$

解题步骤 3.4.4.2

从根式下提出各项。

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{6}{x}}$

解题步骤 3.4.4.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - \sqrt[3]{\frac{6}{x}}$

解题步骤 3.4.4.4

将 $\sqrt[3]{\frac{6}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 3.4.4.5

将 $\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$y = - (\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}})$

解题步骤 3.4.4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.4.6.1

将 $\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.4.4.6.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

解题步骤 3.4.4.6.5

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.6.5.4.1

约去公因数。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.4.2

重写表达式。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.5

化简。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

解题步骤 3.4.4.7

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.4.4.8

使用根数乘积法则进行合并。

$y = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ 是否为 $f (x) = - \frac{6}{x^{3}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}})$ 。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}}}{- \frac{6}{x^{3}}}$

解题步骤 5.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}} (- \frac{x^{3}}{6}))$

解题步骤 5.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.5

对 $- \frac{6}{x^{3}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 {(- 1)}^{2} {(\frac{6}{x^{3}})}^{2}} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.6

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 {(\frac{6}{x^{3}})}^{2})} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.7

对 $\frac{6}{x^{3}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{6^{2}}{{(x^{3})}^{2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.8

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{{(x^{3})}^{2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.9

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{x^{3 \cdot 2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.9.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{x^{6}}))} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.10

合并指数。

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解题步骤 5.2.10.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 (\frac{36}{x^{6}})} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.10.2

组合 $6$ 和 $\frac{36}{x^{6}}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 36}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.10.3

将 $6$ 乘以 $36$ 。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{216}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.11

将 $216$ 重写为 $6^{3}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6^{3}}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.12

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{2})}^{3}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6^{3}}{{(x^{2})}^{3}}} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.13

将 $\frac{6^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$ 重写为 ${(\frac{6}{x^{2}})}^{3}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{{(\frac{6}{x^{2}})}^{3}} \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.14

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \frac{6}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.15

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.15.1

将 $- \frac{6}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 6}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.15.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{6 (- 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.15.3

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{6 \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

解题步骤 5.2.15.4

重写表达式。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot x^{3})$

解题步骤 5.2.16

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.16.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

解题步骤 5.2.16.2

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

解题步骤 5.2.16.3

重写表达式。

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{{(- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

解题步骤 5.3.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{{(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- {(\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

解题步骤 5.3.3.3

对 $\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{\sqrt[3]{6 x^{2}}}^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 5.3.3.4

将 ${\sqrt[3]{6 x^{2}}}^{3}$ 重写为 $6 x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{6 x^{2}}$ 重写成 ${(6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{({(6 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 5.3.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{x^{3}}}$

解题步骤 5.3.3.4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{x^{3}}}$

解题步骤 5.3.3.4.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{x^{3}}}$

解题步骤 5.3.3.4.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 5.3.3.4.5

化简。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 5.3.3.5

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{3}}}$

解题步骤 5.3.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

解题步骤 5.3.3.5.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

解题步骤 5.3.3.5.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6}{x}}$

解题步骤 5.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (- \frac{x}{6}))$

解题步骤 5.3.5

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- \frac{x}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (\frac{- x}{6}))$

解题步骤 5.3.5.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (\frac{- x}{6}))$

解题步骤 5.3.5.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ 为 $f (x) = - \frac{6}{x^{3}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$

初级微积分 示例

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