初级微积分示例

$y = - x^{2} - 10 x - 18$

解题步骤 1

交换变量。

$x = - y^{2} - 10 y - 18$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $- y^{2} - 10 y - 18 = x$ 。

$- y^{2} - 10 y - 18 = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- y^{2} - 10 y - 18 - x = 0$

解题步骤 2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4

将 $a = - 1$ 、 $b = - 10$ 和 $c = - 18 - x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 18 - x))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 18 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $4$ 乘以 $- 18$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.1.6

从 $100$ 中减去 $72$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{28 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.1.7

从 $28 - 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.5.1.7.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.1.7.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.1.7.3

从 $4 (7) + 4 (- x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.1.8

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$

解题步骤 2.5.3

化简 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$ 。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$

解题步骤 2.5.4

移动 $\frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$

解题步骤 2.5.5

将 $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 重写为 $- (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 。

$y = - (5 \pm \sqrt{7 - x})$

解题步骤 2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 18 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $4$ 乘以 $- 18$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.6.1.6

从 $100$ 中减去 $72$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{28 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.6.1.7

从 $28 - 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.6.1.7.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.6.1.7.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.6.1.7.3

从 $4 (7) + 4 (- x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.6.1.8

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.6.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$ 。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$

解题步骤 2.6.4

移动 $\frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$

解题步骤 2.6.5

将 $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 重写为 $- (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 。

$y = - (5 \pm \sqrt{7 - x})$

解题步骤 2.6.6

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = - (5 + \sqrt{7 - x})$

解题步骤 2.6.7

运用分配律。

$y = - 1 \cdot 5 - \sqrt{7 - x}$

解题步骤 2.6.8

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$y = - 5 - \sqrt{7 - x}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 18 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $4$ 乘以 $- 18$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.7.1.6

从 $100$ 中减去 $72$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{28 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.7.1.7

从 $28 - 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.7.1.7.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.7.1.7.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.7.1.7.3

从 $4 (7) + 4 (- x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.7.1.8

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.7.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$

解题步骤 2.7.3

化简 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$ 。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$

解题步骤 2.7.4

移动 $\frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$

解题步骤 2.7.5

将 $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 重写为 $- (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 。

$y = - (5 \pm \sqrt{7 - x})$

解题步骤 2.7.6

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = - (5 - \sqrt{7 - x})$

解题步骤 2.7.7

运用分配律。

$y = - 1 \cdot 5 + \sqrt{7 - x}$

解题步骤 2.7.8

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

解题步骤 2.7.9

乘以 $- - \sqrt{7 - x}$ 。

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解题步骤 2.7.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - 5 + 1 \sqrt{7 - x}$

解题步骤 2.7.9.2

将 $\sqrt{7 - x}$ 乘以 $1$ 。

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

解题步骤 2.8

最终答案为两个解的组合。

$y = - 5 - \sqrt{7 - x}$

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

$y = - 5 - \sqrt{7 - x}$

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ 是否为 $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 和 $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, 7]$

解题步骤 4.3

求 $- 5 - \sqrt{7 - x}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt{7 - x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$7 - x \geq 0$

解题步骤 4.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

从不等式两边同时减去 $7$ 。

$- x \geq - 7$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- x \geq - 7$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $- x \geq - 7$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.2.3.1

用 $- 7$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq 7$

解题步骤 4.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 7]$

解题步骤 4.4

求 $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 的定义域。

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解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于 $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ 的定义域为 $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ 的值域又为 $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ 为 $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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