初级微积分示例

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6 = 0$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = \frac{3}{2}$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \frac{27}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 (\frac{27}{8}) - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{27}{2 (4)} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.4.2

约去公因数。

$2 \frac{27}{2 \cdot 4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.4.3

重写表达式。

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.5

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.8

乘以 $- 3 (\frac{9}{4})$ 。

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解题步骤 4.1.8.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{9}{4}$ 。

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.8.2

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

解题步骤 4.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.10.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 2) \frac{3}{2} + 6$

解题步骤 4.1.10.2

约去公因数。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} + 6$

解题步骤 4.1.10.3

重写表达式。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 2 \cdot 3 + 6$

解题步骤 4.1.11

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 6 + 6$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

在公分母上合并分子。

$- 6 + 6 + \frac{27 - 27}{4}$

解题步骤 4.2.2

从 $27$ 中减去 $27$ 。

$- 6 + 6 + \frac{0}{4}$

解题步骤 4.3

求公分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 6}{1} + 6 + \frac{0}{4}$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

解题步骤 4.3.4

将 $6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} + \frac{0}{4}$

解题步骤 4.3.5

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

解题步骤 4.3.6

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 6 \cdot 4 + 6 \cdot 4}{4}$

解题步骤 4.5

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 24 + 6 \cdot 4}{4}$

解题步骤 4.5.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 24 + 24}{4}$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 24$ 和 $24$ 相加。

$\frac{0}{4}$

解题步骤 4.6.2

用 $0$ 除以 $4$ 。

$0$

解题步骤 5

因为 $\frac{3}{2}$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - \frac{3}{2}$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6}{x - \frac{3}{2}}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

解题步骤 6.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

	$2$

解题步骤 6.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{3}{2})$ 并将 $(3)$ 的结果置于被除数 $(- 3)$ 的下一项下方。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$	$0$

解题步骤 6.5

将结果 $(0)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{3}{2})$ 并将 $(0)$ 的结果置于被除数 $(- 4)$ 的下一项下方。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$	$- 4$

解题步骤 6.7

将结果 $(- 4)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{3}{2})$ 并将 $(- 6)$ 的结果置于被除数 $(6)$ 的下一项下方。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$	$0$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + 0 x - 4$

解题步骤 6.10

化简商多项式。

$2 x^{2} - 4$

解题步骤 7

从 $2 x^{2} - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 7.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2}) - 4)$

解题步骤 7.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{3}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot - 2)$

解题步骤 7.3

从 $2 x^{2} + 2 \cdot - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2} - 2))$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 8.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 6 = 0$

解题步骤 8.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{2} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) = 0$

解题步骤 8.2

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 3$ 来因式分解多项式。

$(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 10

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 3 = 0$

解题步骤 10.2

求解 $x$ 的 $2 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 10.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 x = 3$

解题步骤 10.2.2

将 $2 x = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $2 x = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 10.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 10.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{2}$

解题步骤 11

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 11.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 11.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 11.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 11.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 11.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 12

最终解为使 $(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

小数形式：

$x = 1.5, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$

带分数形式：

$x = 1 \frac{1}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 14

初级微积分 示例

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