初级微积分示例

$x^{3} - 15 x - 4 = 0$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(4)}^{3} - 15 \cdot 4 - 4$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = 4$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 - 15 \cdot 4 - 4$

解题步骤 4.1.2

将 $- 15$ 乘以 $4$ 。

$64 - 60 - 4$

解题步骤 4.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $64$ 中减去 $60$ 。

$4 - 4$

解题步骤 4.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$0$

解题步骤 5

因为 $4$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - 4$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{3} - 15 x - 4}{x - 4}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(4)$ 并将 $(4)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$
	$1$	$4$

解题步骤 6.5

将结果 $(4)$ 中的最新项乘以除数 $(4)$ 并将 $(16)$ 的结果置于被除数 $(- 15)$ 的下一项下方。

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$
	$1$	$4$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$
	$1$	$4$	$1$

解题步骤 6.7

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(4)$ 并将 $(4)$ 的结果置于被除数 $(- 4)$ 的下一项下方。

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$	$4$
	$1$	$4$	$1$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$	$4$
	$1$	$4$	$1$	$0$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{2} + 4 x + 1$

解题步骤 6.10

化简商多项式。

$x^{2} + 4 x + 1$

解题步骤 7

求解方程以求出所有其余根。

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解题步骤 7.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2

将 $a = 1$ 、 $b = 4$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.3.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.3.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 7.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.4.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 7.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 2 + \sqrt{3}$

解题步骤 7.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.5.1

化简分子。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.5.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.5.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 7.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 7.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 8

多项式可写成一组线性因式。

$(x - 4) (x + 2 - \sqrt{3}) (x + 2 + \sqrt{3})$

解题步骤 9

这些是多项式 $x^{3} - 15 x - 4$ 的根（零点）。

$x = 4, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 4, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

小数形式：

$x = 4, - 0.26794919 \dots, - 3.73205080 \dots$

解题步骤 11

初级微积分 示例

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