初级微积分示例

$y = \cos (2 x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \cos (2 y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\cos (2 y) = x$ 。

$\cos (2 y) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$2 y = \arccos (x)$

解题步骤 2.3

将 $2 y = \arccos (x)$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 y = \arccos (x)$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ 是否为 $f (x) = \cos (2 x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\cos (2 x))$ 。

$f^{- 1} (\cos (2 x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ 。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

解题步骤 4.3.4

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ 为 $f (x) = \cos (2 x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

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