初级微积分示例

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y + 8 = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$

解题步骤 2

对 $8 x^{2} - 32 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 8$

$b = - 32$

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 8}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 32$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

从 $- 32$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (8)}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 16}{8}$

解题步骤 2.3.2.2

约去 $- 16$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $8$ 。

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8}$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 (1)}$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 2}{1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$d = - 2$

解题步骤 2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 8}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对 $- 32$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 8}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$e = 0 - \frac{1024}{32}$

解题步骤 2.4.2.1.3

用 $1024$ 除以 $32$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 32$

解题步骤 2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$e = 0 - 32$

解题步骤 2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $32$ 。

$e = - 32$

解题步骤 2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ 。

$8 {(x - 2)}^{2} - 32$

解题步骤 3

在方程 $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ 中，用 $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ 代替 $8 x^{2} - 32 x$ 。

$8 {(x - 2)}^{2} - 32 + 6 y^{2} + 24 y = - 8$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $32$ 的方法来将 $- 32$ 移到等式右边。

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 y^{2} + 24 y = - 8 + 32$

解题步骤 5

对 $6 y^{2} + 24 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 6$

$b = 24$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{24}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (6)}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{12}{6}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $12$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$d = \frac{6 \cdot 2}{6}$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)}$

解题步骤 5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{2}{1}$

解题步骤 5.3.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$d = 2$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 6}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $24$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 6}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$e = 0 - \frac{576}{24}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用 $576$ 除以 $24$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 24$

解题步骤 5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$e = 0 - 24$

解题步骤 5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $24$ 。

$e = - 24$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ 。

$6 {(y + 2)}^{2} - 24$

解题步骤 6

在方程 $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ 中，用 $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ 代替 $6 y^{2} + 24 y$ 。

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} - 24 = - 8 + 32$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $24$ 的方法来将 $- 24$ 移到等式右边。

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = - 8 + 32 + 24$

解题步骤 8

化简 $- 8 + 32 + 24$ 。

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解题步骤 8.1

将 $- 8$ 和 $32$ 相加。

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 24 + 24$

解题步骤 8.2

将 $24$ 和 $24$ 相加。

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 48$

解题步骤 9

将每一项除以 $48$ 以使方程右边等于一。

$\frac{8 {(x - 2)}^{2}}{48} + \frac{6 {(y + 2)}^{2}}{48} = \frac{48}{48}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{6} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{8} = 1$

解题步骤 11

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 12

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{6}$

$k = - 2$

$h = 2$

解题步骤 13

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 14

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

对 $2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 15.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.3.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.5

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 15.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{8 - 6^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.5.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 6}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.6

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{8 - 6}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.1.7

从 $8$ 中减去 $6$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.2

约去 $\sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 16

初级微积分 示例

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