初级微积分示例

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1

Multiply each term by a factor of $1$ that will equate all the denominators. In this case, all terms need a denominator of $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2

将表达式乘以 $1$ 的因数以求 $2$ 的最小公分母 (LCD)。

$\sin (2 θ) \cdot 2$

解题步骤 3

将 $2$ 移到 $\sin (2 θ)$ 的左侧。

$\frac{2 \sin (2 θ)}{2} = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4

化简 $\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2}$ 。

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解题步骤 4.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\sin (2 θ) \cdot 1 = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

将 $\sin (2 θ)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$2 θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$2 θ = - \frac{π}{6}$

解题步骤 7

将 $2 θ = - \frac{π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $2 θ = - \frac{π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2

乘以 $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{6}$ 。

$θ = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 7.3.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$θ = - \frac{π}{12}$

解题步骤 8

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 9

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 9.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 9.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$2 θ = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 9.3

将 $2 θ = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $2 θ = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 9.3.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 9.3.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 9.3.3.2

乘以 $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 9.3.3.2.1

将 $\frac{7 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$θ = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{7 π}{12}$

解题步骤 10

求 $\sin (2 θ)$ 的周期。

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解题步骤 10.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 10.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 10.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 11

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 11.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{12}$ 以求正角。

$- \frac{π}{12} + π$

解题步骤 11.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 11.3

合并分数。

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解题步骤 11.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 11.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

解题步骤 11.4

化简分子。

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解题步骤 11.4.1

将 $12$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

解题步骤 11.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{12}$

解题步骤 11.5

列出新角。

$θ = \frac{11 π}{12}$

解题步骤 12

$\sin (2 θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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