初级微积分示例

$y = \sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cos (4 x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (2 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (2 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $\sin (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.2.2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \sin (2 x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.2.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $4 x$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.3.2.2

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $- \sin (u_{3})$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

解题步骤 3.3.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \cdot 4)$

解题步骤 3.3.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- 4 \sin (4 x))$

解题步骤 3.3.7

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4}{2} \sin (4 x)$

解题步骤 3.3.8

组合 $\frac{- 4}{2}$ 和 $\sin (4 x)$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4 \sin (4 x)}{2}$

解题步骤 3.3.9

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.9.1

从 $- 4 \sin (4 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2}$

解题步骤 3.3.9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 (1)}$

解题步骤 3.3.9.2.2

约去公因数。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.9.2.3

重写表达式。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 2 \sin (4 x)}{1}$

解题步骤 3.3.9.2.4

用 $- 2 \sin (4 x)$ 除以 $1$ 。

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) - 2 \sin (4 x)$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

初级微积分 示例

初级微积分示例