初级微积分示例

$x^{4} + 12 x^{3} + 31 x^{2} - 12 x - 32$

解题步骤 1

重新组合项。

$12 x^{3} - 12 x + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

解题步骤 2

从 $12 x^{3} - 12 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

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解题步骤 2.1

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2}) - 12 x + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

解题步骤 2.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

解题步骤 2.3

从 $12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

解题步骤 3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$12 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

解题步骤 4

因数。

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解题步骤 4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$12 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

解题步骤 4.2

去掉多余的括号。

$12 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

解题步骤 5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$12 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 31 x^{2} - 32$

解题步骤 6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$12 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 31 u - 32$

解题步骤 7

使用 AC 法来对 $u^{2} + 31 u - 32$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 32$ ，和为 $31$ 。

$- 1, 32$

解题步骤 7.2

使用这些整数书写分数形式。

$12 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 32)$

解题步骤 8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 32)$

解题步骤 9

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$12 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 32)$

解题步骤 10

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$12 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$

解题步骤 11

从 $12 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 11.1

从 $12 x (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$(x + 1) (x - 1) (12 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$

解题步骤 11.2

从 $(x + 1) (x - 1) (12 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$(x + 1) (x - 1) (12 x + x^{2} + 32)$

解题步骤 12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x + 1) (x - 1) (12 u + u^{2} + 32)$

解题步骤 13

使用 AC 法来对 $12 u + u^{2} + 32$ 进行因式分解。

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解题步骤 13.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $32$ ，和为 $12$ 。

$4, 8$

解题步骤 13.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 1) (x - 1) ((u + 4) (u + 8))$

解题步骤 14

因数。

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解题步骤 14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 1) (x - 1) ((x + 4) (x + 8))$

解题步骤 14.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x - 1) (x + 4) (x + 8)$

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