初级微积分示例

$\sin (θ) (\tan (θ) + \cot (θ)) = \sec (θ)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\sin (θ) (\tan (θ) + \cot (θ))$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $\tan (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ))$

解题步骤 2.1.2

将 $\cot (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 2.3

乘以 $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\sin (θ)$ 和 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 2.3.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 2.3.3

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 2.4

约去 $\sin (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

约去公因数。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 2.4.2

重写表达式。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

解题步骤 3

将勾股恒等式反过来使用。

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

解题步骤 4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (θ)$ 。

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

解题步骤 4.2

要将 $\cos (θ)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ 。

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 4.4

化简分子。

$\frac{1}{\cos (θ)}$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 重写为 $\sec (θ)$ 。

$\sec (θ)$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\sin (θ) (\tan (θ) + \cot (θ)) = \sec (θ)$ 是一个恒等式

初级微积分 示例

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