初级微积分示例

$f (x) = 9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

解题步骤 1

将 $9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$ 设为等于 $0$ 。

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 9 x^{3} + 4 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 9 x^{3}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 2.1.5

因数。

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解题步骤 2.1.5.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3 x$ 和 $b = 2$ 。

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 2.1.5.2

去掉多余的括号。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 2.1.6

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 2.1.7

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

解题步骤 2.1.8

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.8.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ 并且它们的和为 $b = - 58$ 。

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解题步骤 2.1.8.1.1

从 $- 58 u$ 中分解出因数 $- 58$ 。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

解题步骤 2.1.8.1.2

把 $- 58$ 重写为 $- 4$ 加 $- 54$

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

解题步骤 2.1.8.1.3

运用分配律。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

解题步骤 2.1.8.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.8.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

解题步骤 2.1.8.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

解题步骤 2.1.8.3

通过因式分解出最大公因数 $9 u - 4$ 来因式分解多项式。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

解题步骤 2.1.9

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.10

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.11

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.12

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3 x$ 和 $b = 2$ 。

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.13

从 $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ 中分解出因数 $(3 x + 2) (3 x - 2)$ 。

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解题步骤 2.1.13.1

从 $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ 中分解出因数 $(3 x + 2) (3 x - 2)$ 。

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.13.2

从 $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ 中分解出因数 $(3 x + 2) (3 x - 2)$ 。

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.14

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.15

使用 AC 法来对 $- u + u^{2} - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.15.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 2.1.15.2

使用这些整数书写分数形式。

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.16

因数。

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解题步骤 2.1.16.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.16.2

去掉多余的括号。

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.3

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $3 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$3 x = - 2$

解题步骤 2.3.2.2

将 $3 x = - 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $3 x = - 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2}{3}$

解题步骤 2.4

将 $3 x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $3 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $3 x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$3 x = 2$

解题步骤 2.4.2.2

将 $3 x = 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $3 x = 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2}{3}$

解题步骤 2.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.6

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.7

最终解为使 $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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