初级微积分示例

$f (x) = 7 x^{3} + 51 x^{2} + 15 x + 7$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 7$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{7}, \pm 7$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

$7 {(- 7)}^{3} + 51 {(- 7)}^{2} + 15 (- 7) + 7$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = - 7$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 7$ 进行 $3$ 次方运算。

$7 \cdot - 343 + 51 {(- 7)}^{2} + 15 (- 7) + 7$

解题步骤 4.1.2

将 $7$ 乘以 $- 343$ 。

$- 2401 + 51 {(- 7)}^{2} + 15 (- 7) + 7$

解题步骤 4.1.3

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2401 + 51 \cdot 49 + 15 (- 7) + 7$

解题步骤 4.1.4

将 $51$ 乘以 $49$ 。

$- 2401 + 2499 + 15 (- 7) + 7$

解题步骤 4.1.5

将 $15$ 乘以 $- 7$ 。

$- 2401 + 2499 - 105 + 7$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 2401$ 和 $2499$ 相加。

$98 - 105 + 7$

解题步骤 4.2.2

从 $98$ 中减去 $105$ 。

$- 7 + 7$

解题步骤 4.2.3

将 $- 7$ 和 $7$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $- 7$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x + 7$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{7 x^{3} + 51 x^{2} + 15 x + 7}{x + 7}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$

解题步骤 6.2

将被除数 $(7)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$

	$7$

解题步骤 6.3

将结果 $(7)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(- 49)$ 的结果置于被除数 $(51)$ 的下一项下方。

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$
	$7$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$
	$7$	$2$

解题步骤 6.5

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(- 14)$ 的结果置于被除数 $(15)$ 的下一项下方。

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$
	$7$	$2$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$
	$7$	$2$	$1$

解题步骤 6.7

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(- 7)$ 的结果置于被除数 $(7)$ 的下一项下方。

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$	$- 7$
	$7$	$2$	$1$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$	$- 7$
	$7$	$2$	$1$	$0$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$7 x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 7

求解方程以求出所有其余根。

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解题步骤 7.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2

将 $a = 7$ 、 $b = 2$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3.1.2.2

将 $- 28$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3.1.3

从 $4$ 中减去 $28$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3.1.4

将 $- 24$ 重写为 $- 1 (24)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (24)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3.1.7

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 7.3.1.7.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.3.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$

解题步骤 7.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{6}}{7}$

解题步骤 7.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.4.1.2.2

将 $- 28$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.4.1.3

从 $4$ 中减去 $28$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.4.1.4

将 $- 24$ 重写为 $- 1 (24)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (24)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.4.1.7

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 7.4.1.7.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.4.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$

解题步骤 7.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{6}}{7}$

解题步骤 7.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{6}}{7}$

解题步骤 7.4.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{6}}{7}$

解题步骤 7.4.6

从 $i \sqrt{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{6})}{7}$

解题步骤 7.4.7

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{6})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{6})}{7}$

解题步骤 7.4.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}$

解题步骤 7.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.5.1

化简分子。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.1.2.2

将 $- 28$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.1.3

从 $4$ 中减去 $28$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.1.4

将 $- 24$ 重写为 $- 1 (24)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (24)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.1.7

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 7.5.1.7.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$

解题步骤 7.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{6}}{7}$

解题步骤 7.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{6}}{7}$

解题步骤 7.5.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{6}}{7}$

解题步骤 7.5.6

从 $- i \sqrt{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{6})}{7}$

解题步骤 7.5.7

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{6})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{6})}{7}$

解题步骤 7.5.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{6}}{7}$

解题步骤 7.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}, - \frac{1 + i \sqrt{6}}{7}$

解题步骤 8

多项式可写成一组线性因式。

$(x + 7) (x + \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}) (x + \frac{1 + i \sqrt{6}}{7})$

解题步骤 9

这些是多项式 $7 x^{3} + 51 x^{2} + 15 x + 7$ 的根（零点）。

$x = - 7, - \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}, - \frac{1 + i \sqrt{6}}{7}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

初级微积分示例