初级微积分示例

$\frac{1 - x^{2}}{x}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{1 - x^{2}}{x}$ 无定义。

$x = 0$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2} - x^{2}}{x}$

解题步骤 5.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

解题步骤 5.2

展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x}$

解题步骤 5.2.4

去掉圆括号。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x}$

解题步骤 5.2.5

将 $x$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot x + x (- x)}{x}$

解题步骤 5.2.6

去掉圆括号。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}{x}$

解题步骤 5.2.7

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 \cdot (x \cdot x)}{x}$

解题步骤 5.2.8

将 $- 1$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 x \cdot x}{x}$

解题步骤 5.2.9

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 x \cdot x}{x}$

解题步骤 5.2.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x}$

解题步骤 5.2.11

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x}$

解题步骤 5.2.12

提取负因数。

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x}$

解题步骤 5.2.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x}$

解题步骤 5.2.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x}$

解题步骤 5.2.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x}$

解题步骤 5.2.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 - x + x - x^{2}}{x}$

解题步骤 5.2.17

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1 + 0 - x^{2}}{x}$

解题步骤 5.2.18

从 $0$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{1 - x^{2}}{x}$

解题步骤 5.2.19

将 $1$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$\frac{- x^{2} + 1}{x}$

解题步骤 5.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 5.4

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

解题步骤 5.5

将新的商式项乘以除数。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

解题步骤 5.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} + 0$ 中的所有符号

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

解题步骤 5.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

解题步骤 5.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

解题步骤 5.9

最终答案为商加上余数除以除数。

$- x + \frac{1}{x}$

解题步骤 5.10

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - x$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - x$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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