初级微积分示例

$y = 4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{6}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$4 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2.3

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$24 x^{5} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$24 x^{5} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$24 x^{5} + 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.3.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$24 x^{5} + 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.4.3

将 $3$ 乘以 $- 7$ 。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.5.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.6.1

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + 0$

解题步骤 1.6.2

将 $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [24 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$24 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$24 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $5$ 乘以 $24$ 。

$120 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$120 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$120 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$120 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 21$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 21 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $- 21$ 。

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \cdot 1$

解题步骤 2.5.3

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [120 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $120 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$120 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.2.3

将 $4$ 乘以 $120$ 。

$480 x^{3} + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$480 x^{3} + 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$480 x^{3} + 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 乘以 $60$ 。

$480 x^{3} + 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 42$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 42 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.4.3

将 $- 42$ 乘以 $1$ 。

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.5.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + 0$

解题步骤 3.5.2

将 $480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$

初级微积分 示例

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