初级微积分示例

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$

解题步骤 1

从左边开始。

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $\csc (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

解题步骤 2.1.2

将 $\cot (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\csc (θ) - \cot (θ))$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

将 $\csc (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \cot (θ))$

解题步骤 2.2.2

将 $\cot (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.3

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ 。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$\frac{1}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.3.3

运用分配律。

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.4

合并 $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ 中相反的项。

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解题步骤 2.4.1

按照 $\frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ 和 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ 重新排列因数。

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.4.2

将 $- \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 和 $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 相加。

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + 0 + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.4.3

将 $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.5

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1

乘以 $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

将 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 。

$\frac{1}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.5.1.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.5.1.3

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.5.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\sin (θ)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.5.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 2.5.3

乘以 $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 乘以 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 2.5.3.2

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 2.5.3.3

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 2.5.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 2.5.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 2.5.3.6

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 2.5.3.7

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}$

解题步骤 2.5.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.5.3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

解题步骤 2.7

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

解题步骤 2.8

约去 $\sin^{2} (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.1

约去公因数。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

解题步骤 2.8.2

重写表达式。

$1$

解题步骤 3

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$ 是一个恒等式

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