初级微积分示例

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4$

解题步骤 1

将 $x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$x^{5} + x^{2} - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $x^{5} + x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{3} + x^{2} - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

乘以 $1$ 。

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot 1 - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (x^{3} + 1) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x^{2} (x^{3} + 1^{3}) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

解题步骤 2.1.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

解题步骤 2.1.5

因数。

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解题步骤 2.1.5.1

化简。

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解题步骤 2.1.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

解题步骤 2.1.5.1.2

一的任意次幂都为一。

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

解题步骤 2.1.5.2

去掉多余的括号。

$x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

解题步骤 2.1.6

使用有理根检验法因式分解 $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ 。

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解题步骤 2.1.6.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.6.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 2.1.6.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.6.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

$- {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

解题步骤 2.1.6.3.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 1 \cdot 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

解题步骤 2.1.6.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

解题步骤 2.1.6.3.4

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 - 5 \cdot - 1 + 8 \cdot - 1 + 4$

解题步骤 2.1.6.3.5

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 + 5 + 8 \cdot - 1 + 4$

解题步骤 2.1.6.3.6

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$4 + 8 \cdot - 1 + 4$

解题步骤 2.1.6.3.7

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$4 - 8 + 4$

解题步骤 2.1.6.3.8

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$- 4 + 4$

解题步骤 2.1.6.3.9

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.6.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4}{x + 1}$

解题步骤 2.1.6.5

用 $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.6.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

解题步骤 2.1.6.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

解题步骤 2.1.6.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 2.1.6.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{4} - x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 2.1.6.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

解题步骤 2.1.6.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 2.1.6.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 2.1.6.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

解题步骤 2.1.6.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

解题步骤 2.1.6.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

解题步骤 2.1.6.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

解题步骤 2.1.6.5.12

将被除数中的最高阶项 $4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

解题步骤 2.1.6.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

解题步骤 2.1.6.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{2} + 4 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

解题步骤 2.1.6.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

解题步骤 2.1.6.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

解题步骤 2.1.6.5.17

将被除数中的最高阶项 $4 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

解题步骤 2.1.6.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

解题步骤 2.1.6.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x + 4$ 中的所有符号

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

解题步骤 2.1.6.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

解题步骤 2.1.6.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4$

解题步骤 2.1.6.6

将 $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ 书写为因数的集合。

$x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.7

从 $x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

从 $x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1)) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

从 $(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1)) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1) - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.8

运用分配律。

$(x + 1) (x^{2} x^{2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.9

化简。

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解题步骤 2.1.9.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.9.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 1) (x^{2 + 2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.9.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$(x + 1) (x^{4} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.9.2

使用乘法的交换性质重写。

$(x + 1) (x^{4} - x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.9.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$(x + 1) (x^{4} - x^{2} x + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.10

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.10.1

移动 $x$ 。

$(x + 1) (x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.10.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 1) (x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 1) (x^{4} - x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.10.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(x + 1) (x^{4} - x^{3} + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.11

从 $- x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.12

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.4

将 $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.4.2.1.1

重新组合项。

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.2

从 $x^{4} - 2 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} x - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.2.2

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.2.3

从 $x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.3

分组因式分解。

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解题步骤 2.4.2.1.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot 4 = - 12$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.3.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + 4 (x) + 4 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.3.1.2

把 $4$ 重写为 $- 2$ 加 $6$

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + (- 2 + 6) x + 4 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.3.1.3

运用分配律。

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} - 2 x + 6 x + 4 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} - 2 x + 6 x + 4 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{3} (x - 2) + x (- 3 x - 2) - 2 (- 3 x - 2) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.3.3

通过因式分解出最大公因数 $- 3 x - 2$ 来因式分解多项式。

$x^{3} (x - 2) + (- 3 x - 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.4

从 $x^{3} (x - 2) + (- 3 x - 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.4.1

从 $x^{3} (x - 2)$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$(x - 2) x^{3} + (- 3 x - 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.4.2

从 $(- 3 x - 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 3 x - 2) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.4.3

从 $(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 3 x - 2)$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$(x - 2) (x^{3} - 3 x - 2) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.5

因数。

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解题步骤 2.4.2.1.5.1

以因式分解的形式重写 $x^{3} - 3 x - 2$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.5.1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 3 x - 2$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.3.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 + 3 - 2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.3.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$2 - 2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.3.5

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x + 1}$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5

用 $x^{3} - 3 x - 2$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x - 2$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - x - 2$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.1.6

将 $x^{3} - 3 x - 2$ 书写为因数的集合。

$(x - 2) ((x + 1) (x^{2} - x - 2)) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.4.2.1.5.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.4.2.1.5.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 2) (x + 1))) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.5.1.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 2) ((x + 1) (x - 2) (x + 1)) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.5.2

去掉多余的括号。

$(x - 2) (x + 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.6

合并指数。

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解题步骤 2.4.2.1.6.1

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x - 2) (x - 2) (x + 1) (x + 1) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.6.2

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x - 2) (x - 2) (x + 1) (x + 1) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x - 2)}^{1 + 1} (x + 1) (x + 1) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x - 2)}^{2} (x + 1) (x + 1) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.6.5

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(x - 2)}^{2} ((x + 1) (x + 1)) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.6.6

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(x - 2)}^{2} ((x + 1) (x + 1)) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.6.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{1 + 1} = 0$

解题步骤 2.4.2.1.6.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2.3

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4.2.3.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.4.2.4

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x + 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2.4.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.4.2.5

最终解为使 ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 2$

解题步骤 3

初级微积分 示例

初级微积分示例