初级微积分示例

$(1 - \cos (θ)) (\csc (θ) + \cot (θ))$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $\csc (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \cot (θ))$

解题步骤 1.2

将 $\cot (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$1 (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) - \cos (θ) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$1 \frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$1 \frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 3.1.2

将 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 3.1.3

组合 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 和 $\cos (θ)$ 。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 3.1.4

乘以 $- \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

组合 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 和 $\cos (θ)$ 。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 3.1.4.2

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 3.1.4.3

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)}$

解题步骤 3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 3.2

从 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 中减去 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 。

$\frac{1}{\sin (θ)} + 0 - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 6

约去 $\sin^{2} (θ)$ 和 $\sin (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

从 $\sin^{2} (θ)$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 1}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$\frac{\sin (θ)}{1}$

解题步骤 6.2.4

用 $\sin (θ)$ 除以 $1$ 。

$\sin (θ)$

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