初级微积分示例

$y = \frac{3 x + 2}{4 x - 7}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{3 x + 2}{4 x - 7})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = 3 x + 2$ 且 $g (y) = 4 x - 7$ 。

$\frac{(4 x - 7) \frac{d}{d y} [3 x + 2] - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $3 x + 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]$ 。

$\frac{(4 x - 7) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [x]$ 。

$\frac{(4 x - 7) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + 0) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $3 x'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(4 x - 7) (3 x') - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $3$ 移到 $4 x - 7$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (4 x - 7) x' - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $4 x - 7$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7]$ 。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $y$ 的导数是 $4 \frac{d}{d y} [x]$ 。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.9

因为 $- 7$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + 0)}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.10

化简表达式。

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解题步骤 3.10.1

将 $4 x'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x')}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.10.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (4 x - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

运用分配律。

$\frac{(3 (4 x) + 3 \cdot - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11.2

运用分配律。

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11.3

运用分配律。

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' + (- 4 (3 x) - 4 \cdot 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11.4

运用分配律。

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11.5

化简分子。

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解题步骤 3.11.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.11.5.1.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 x x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11.5.1.2

将 $3$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{12 x x' - 21 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11.5.1.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11.5.1.4

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11.5.2

合并 $12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'$ 中相反的项。

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解题步骤 3.11.5.2.1

从 $12 x x'$ 中减去 $12 x x'$ 。

$\frac{0 - 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11.5.2.2

从 $0$ 中减去 $21 x'$ 。

$\frac{- 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11.5.3

从 $- 21 x'$ 中减去 $8 x'$ 。

$\frac{- 29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = - \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ 。

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$

解题步骤 5.2

将 $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.2.2.2

用 $\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = - 1$

解题步骤 5.3

两边同时乘以 ${(4 x - 7)}^{2}$ 。

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.4

化简左边。

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解题步骤 5.4.1

约去 ${(4 x - 7)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1

约去公因数。

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.4.1.2

重写表达式。

$29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.5

将 $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ 中的每一项除以 $29$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ 中的每一项都除以 $29$ 。

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $29$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$

初级微积分 示例

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