初级微积分示例

$\log_{7} (x^{2} - 11 x + 30) - \log_{7} (x^{2} - 36) + \log_{7} (x + 6)$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{7} (\frac{x^{2} - 11 x + 30}{x^{2} - 36}) + \log_{7} (x + 6)$

解题步骤 2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{7} (\frac{x^{2} - 11 x + 30}{x^{2} - 36} (x + 6))$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 11 x + 30$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $30$ ，和为 $- 11$ 。

$- 6, - 5$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x^{2} - 36} (x + 6))$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x^{2} - 6^{2}} (x + 6))$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 6$ 。

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{(x + 6) (x - 6)} (x + 6))$

解题步骤 5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.1

约去 $x + 6$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

约去公因数。

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{(x + 6) (x - 6)} (x + 6))$

解题步骤 5.1.2

重写表达式。

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x - 6})$

解题步骤 5.2

约去 $x - 6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x - 6})$

解题步骤 5.2.2

用 $x - 5$ 除以 $1$ 。

$\log_{7} (x - 5)$

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